国際バカロレア · IB Diploma · Mathematics: Analysis and Approaches · SL

対応するSLの焦点。最初の評価 2021；現在 through 2028。初回評価-2029コースは別です。残りのガイドライン、評価、実習要件は記録された保留条件を保持します。

前提条件：指定された数量と単位を読み取り、算術を使用し、以下のモデル条件に従う。各授業は独立した転移前に独自の方法を発展させる。

これらは元々または明示的に架空の教学例であり、実際の測定値や完了した評価対象学習者調査ではない。

余りなく詰めることはできるか

• 供給業者は72本の鉛筆と90本のペンを同じギフトバッグに入れる。端材を出さないにはどうすればよいか。
• この授業では素因数を学ぶ：整数を割り切れる素数のこと。

数学的構造を選択する

• 素因数分解は共通構造を明らかにする。最大公約数(HCF)には最小の共通素因数の累乗を、最小公倍数(LCM)には最大の素因数の累乗を用いる。計算前に概算を行い、演算順序を守るために括弧を使用せよ。
• 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。

確認済みの例 explored を通す

• 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。

例：

72=2^3×3^2 および 90=2×3^2×5。それらのHCFは 2×9=18 である。18個の袋を作成し、各袋に4本の鉛筆と5本のペンを詰める。それらのLCMは 2^3×3^2×5=360 である。

誘惑的な shorthand をテストする

• HCFは両方の数を割るが、LCMは両方の数の倍率である。異なる問いに答える。小数での概算は正確な分数ではない。
• 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。

警告：

正の整数2つのHCFは、いずれの整数よりも常に大きい。この主張は誤りである。どの定義や仮定に違反するかを説明せよ。

新しい状況解釈する

• 電卓使用不可の試験では、分数を正確に保ち、約分を示す。電卓使用可の試験では、完全な式を入力して概算と比較せよ。
• 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。

課程でこの手法を用いる

• 初回評価2021 分析およびアプローチ SL。これは著者による概念支援です。すべての目標を証明するには、完全なガイドが必要です。
• 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。

重要：

整数を割り切れる素数である。関係を選択し、手順を示し、仮定を検証し、結果を解釈せよ。

微視的な長さはいくらか？

• 顕微鏡で長さが0.000072メートルとして記録された。コンパクトな表記ではそのサイズが正確に保たれる必要がある。
• この授業では指数を学ぶ：底を乗じているべき乗。

数学的構造を選択する

• 同じ正の底の場合、掛け算は指数を加え、割り算は指数を引く。負の指数は逆数を表し、分数の指数は根を表す。標準形は1≤a<10である。
• 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。

確認済みの例 explored を通す

• 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。

例：

0.000072=7.2×10^(-5)。また 16^(3/4)=(16^(1/4))^3=2^3=8。√72=6√2 に単純化し、 $1/\sqrt{2}$=√2/2 の分母を有理化せよ。

誘惑的な shorthand をテストする

• 指数法則は和を単一のべき乗に変換しない: 2^3+2^4=24 であり、2^7 ではない。正確な答えが求められている場合、累乗根を丸めてはならない。
• 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。

警告：

すべての正のaについて、a^2+a^3 は a^5 に等しい。この主張は誤りである。どの定義または仮定に違反しているかを説明せよ。

新しい状況解釈する

• 10のべき乗が元の数量と一致するか確認する。正確な幾何学には累乗根を使用し、問題が小数での回答を求めている場合にのみ最終的な長さを丸めること。
• 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。

課程でこの手法を用いる

• 初回評価2021 分析およびアプローチ SL。これは著者による概念支援です。すべての目標を証明するには、完全なガイドが必要です。
• 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。

重要：

底を乗じているべき乗。関係性を選び、手法を示し、仮定をチェックし、結果を解釈せよ。

その変化は加算か乗算か？

• 貯蓄計画では毎週¥30が追加され、人口モデルでは毎年5%増加します。等しい差分と等しい比には、異なるモデルが必要です。
• この授業では公比を学びます：幾何数列における連続する項間の一定の倍率です。

数学的構造を選択する

• 等差数列については、u_n=a+(n-1)d および S_n=n(2a+(n-1)d)/2 です。等比数列については、u_n=ar^(n-1) および S_n=a(1-r^n)/(1-r) です。無限等比級数が収束するのは |r|<1 の場合のみです。
• 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。

確認済みの例 explored を通す

• 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。

例：

a=5, d=3, n=8 のとき、u_8=5+7×3=26 であり、S_8=8(10+21)/2=124 です。a=12, r=1/2 のとき、無限和 S=12/(1-1/2)=24 です。u_(n+1)=2u_n+1 で u_1=1 の場合、次の項は 3,7,15 です。

誘惑的な shorthand をテストする

• 初項の添字は 1 であるため、指数は n-1 となります。数列はリスト、級数は和です。等比数列は符号が交互であっても収束することがあります。
• 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。

警告：

すべての幾何級数は、無限和として有限の値を持ちます。この主張は誤りです。どの定義や仮定を違反しているかを説明してください。

新しい状況解釈する

• 文脈が加法的変化か乗法的変化を正当化しているかを説明してください。金融においては、単一の預入金と複数の預入金の流れを区別して、和の公式を選ぶ必要があります。
• 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。

課程でこの手法を用いる

• 初回評価2021 分析およびアプローチ SL。これは著者による概念支援です。すべての目標を証明するには、完全なガイドが必要です。
• 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。

重要：

幾何数列における連続する項間の一定の倍率です。関係性を選び、手法を示し、仮定を確認し、結果を解釈してください。

元の価格を取り戻せるか？

• コートが 20% 引きで ¥240 になります。割引は販売価格ではなく、元の価格に適用されます。
• この授業では乗数を学びます。単一の乗算で百分率の変化を行う因数です。

数学的構造を選択する

• p% の増減には乗数が 1+p/100；減少の場合、乗数は 1-p/100 です。百分率の逆算には、乗数で割ります。比においては、まず部分の総数を求めます。
• 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。

確認済みの例 explored を通す

• 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。

例：

元の価格を P とします。モデルは 販売価格=0.8P です。したがって P=240/0.8=300 です。その後の 20% の増減により 240×1.2=288 となり、二つの変動は相殺されません。

誘惑的な shorthand をテストする

• 百分率は指定された基準を用います。百分率を引くことにより、その基準が失われます。複合的な変化については、百分率を加算するのではなく、乗数を掛け合わせます。
• 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。

警告：

20% の減価 followed by a 20% の増価で始点の価格に戻るという主張は誤りです。どの定義または仮定に違反しているかを説明してください。

新しい状況解釈する

• 直接比例には y=kx；反比例には y=k/x を用います。新しい値を使う前に、既知のペアから k を計算します。何を保ったかを明記してください。
• 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。

課程でこの手法を用いる

• 初回評価2021 分析およびアプローチ SL。これは著者による概念支援です。すべての目標を証明するには、完全なガイドが必要です。
• 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。

重要：

単一の乗算で百分率の変化を行う因数です。関係性を選び、手法を示し、仮定を確認し、結果を解釈してください。

対応するSLの焦点。最初の評価 2021；現在 through 2028。初回評価-2029コースは別です。残りのガイドライン、評価、実習要件は記録された保留条件を保持します。

前提条件：指定された数量と単位を読み取り、算術を使用し、以下のモデル条件に従う。各授業は独立した転移前に独自の方法を発展させる。

これらは元々または明示的に架空の教学例であり、実際の測定値や完了した評価対象学習者調査ではない。

どの入力が許容されるか？

• 平方根モデルは、特定の入力に対してのみ実数の出力を返します。単なる式だけでは完全な関数を指定できません。
• この授業では定義域を学びます：関数への入力の許容集合です。

数学的構造を選択する

• 定義域と値域を述べてください。逆関数の場合、まず定義域上で関数が一対一であることを確認する必要があります。合成 fg は、まず g を適用し、次に f を適用することを意味します。中間の出力は f に対する許容された入力である必要があります。
• 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。

確認済みの例 explored を通す

• 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。

例：

f(x)=√(x-2) において、x≥2 で値域は y≥0 です。y=√(x-2) より、x=y²+2 となります。したがって f inverse(x)=x²+2 （ただし x≥0）です。g(x)=x+3 について、fg(1)=f(4)=√2 です。

誘惑的な shorthand をテストする

• 二乗运算は余分な解を導入することがあります。逆関数を主張する前に、放物線の定義域を制限することは不可欠です。f 内部の水平移動は、グラフの移動方向とは逆向きの符号を持ちます。
• 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。

警告：

すべての実数全体での二次関数は逆関数を持ちます。この主張は誤りです。どの定義や仮定に違反しているかを説明してください。

新しい状況解釈する

• 逆関数の定義域において f(f⁻¹(x))=x を確認する。スケッチを用いて、水平線が元のグラフを一度以上交差しないか検証する。
• 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。

課程でこの手法を用いる

• 初回評価2021 分析およびアプローチ SL。これは著者による概念支援です。すべての目標を証明するには、完全なガイドが必要です。
• 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。

重要：

関数に許容される入力の集合。関係性を選び、手法を示し、仮定を確認し、結果を解釈せよ。

なぜ減衰モデルは正の値を保つのか？

• 薬物の濃度は毎時同じ割合で減少します。一定量の引き算では、最終的に負の値が予測されてしまいます。
• この授業では**半減期（ハルフライフ）**を学びます：減衰する量が初期値の半分になるまでの時間です。

数学的構造を選択する

• y=Ae^(kt) において、k は比例定数です。両辺の対数をとると ln y=ln A+kt となります。対数関数は正の引数にのみ定義され、log(x+y) が log x + log y と等しいわけではありません。
• 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。

確認済みの例 explored を通す

• 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。

例：

y=80e^(-0.2t) であり、y=40 のとき e^(-0.2t)=1/2 となります。したがって t=ln2/0.2≈3.466 です。3^x=20 に対しては、x=ln20/ln3 です。ln y を t に対してプロットすると、この指数関数モデルは直線化されます。

誘惑的な shorthand をテストする

• 適合された指数関数はモデルに過ぎず、保証ではありません。使用時の時間単位と適用範囲を明記してください。負の k は減衰を表し、負の初期値は通常、文脈と矛盾します。
• 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。

警告：

正の x と y について、ln(x+y)=ln x+ln y です。この主張は誤りです。どの定義や仮定に違反しているかを説明してください。

新しい状況解釈する

• 実際の観測値とモデルを比較します。系統的な乖離は、条件の変化を示唆している可能性があります。レポートでは、単なる数式を提示するだけでなく、その減少率や初期値が何を意味するかを説明すべきです。
• 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。

課程でこの手法を用いる

• 初回評価2021 分析およびアプローチ SL。これは著者による概念支援です。すべての目標を証明するには、完全なガイドが必要です。
• 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。

重要：

減衰する量が初期値の半分になるまでの時間です。関係式を選び、解法を示し、仮定を検証して結果を解釈してください。

Supported SL focus. First assessment 2021; current through 2028. First-assessment-2029 course is separate.. Remaining guide, assessment and practical requirements retain their recorded holds.

Prerequisites: read the stated quantities and units, use arithmetic and the model conditions below. Each lesson develops its own method before independent transfer.

These are original or explicitly fictional teaching examples, not actual measurements or completed assessed learner investigations.

Does volume scale like length?

• A model has lengths one third of the real object. How much smaller are its area and volume?
• This lesson studies scale factor 相似比: The multiplier that relates corresponding lengths in similar shapes.

Choose the mathematical structure

• For similar shapes with length scale factor k, areas scale by k² and volumes by k³. State angle reasons explicitly. A circle's tangent is perpendicular to the radius at the contact point.
• State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.

Work through a checked case

• Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.

Example:

If model-to-real length factor is 3, a model area of 12 cm² gives 12×3²=108 cm² and a model volume of 8 cm³ gives 8×3³=216 cm³. A cylinder with r=3,h=5 has volume πr²h=45π.

Test a tempting shortcut

• Equal angles alone establish similarity, not equal size. Use corresponding lengths in the same order. Convert linear units before calculating area or volume, or square/cube the conversion factor correctly.
• When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.

Warn:

Doubling every length of a solid doubles its volume. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.

Interpret a new situation

• A geometric proof should name the relevant theorem, identify the equal angle or ratio, and draw the conclusion. A scale drawing is evidence only when the task permits measurement.
• A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.

Use this in your course

• Current first-assessment-2021 Analysis and Approaches SL. This is authored concept support; the full guide is needed to certify every objective.
• Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.

Key:

The multiplier that relates corresponding lengths in similar shapes. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.

Which side does the ladder need?

• A ladder reaches a height of 4 m while its foot is 3 m from a wall. Which sides are known, and which angle do we need?
• This lesson studies hypotenuse 斜边: The side opposite the right angle in a right-angled triangle.

Choose the mathematical structure

• In a right triangle a²+b²=c²; sinθ=opposite/hypotenuse, cosθ=adjacent/hypotenuse and tanθ=opposite/adjacent. For other triangles, use the sine or cosine rule, or area=ab sin C/2.
• State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.

Work through a checked case

• Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.

Example:

The ladder length is c=√(3²+4²)=5 m. Its angle to the ground satisfies tanθ=4/3, so θ≈53.1°. With two sides 6 and 8 enclosing 60°, c²=6²+8²-2×6×8 cos60°=52.

Test a tempting shortcut

• Label sides relative to the chosen angle. Pythagoras needs a right angle. A calculator angle mode error can produce a plausible but wrong result. Keep unrounded values for later steps.
• When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.

Warn:

Pythagoras applies to every triangle, including triangles without a right angle. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.

Interpret a new situation

• Use a plan or elevation for a three-dimensional problem before applying a triangle rule. Explain why the chosen triangle contains the required length or angle.
• A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.

Use this in your course

• Current first-assessment-2021 Analysis and Approaches SL. This is authored concept support; the full guide is needed to certify every objective.
• Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.

Key:

The side opposite the right angle in a right-angled triangle. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.

How far does the rim travel?

• A rotating wheel sweeps an arc. Radians let its angle connect directly to the distance travelled along the rim.
• This lesson studies radian 弧度: The angle subtended by an arc whose length equals the radius.

Choose the mathematical structure

• For θ in radians, arc length s=rθ and sector area A=r²θ/2. Use sin²θ+cos²θ=1 and angle identities to simplify or solve. List every solution in the stated interval.
• State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.

Work through a checked case

• Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.

Example:

For r=4 and θ=π/3, s=4π/3 and A=8π/3. Solving sin x=1/2 on 0≤x<2π gives x=π/6 and 5π/6. For sin2x=1/2, solve first on 0≤2x<4π before dividing by 2.

Test a tempting shortcut

• A calculator's inverse sine gives one principal value. It does not give every solution. Dividing by sin x can discard solutions where sin x=0; check that case first.
• When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.

Warn:

The principal inverse sine value is always the only solution in a full turn. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.

Interpret a new situation

• Choose an identity that reduces the equation to one trigonometric function. Keep exact familiar angles where possible, and check each solution against the original equation.
• A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.

Use this in your course

• Current first-assessment-2021 Analysis and Approaches SL. This is authored concept support; the full guide is needed to certify every objective.
• Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.

Key:

The angle subtended by an arc whose length equals the radius. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.

Supported SL focus. First assessment 2021; current through 2028. First-assessment-2029 course is separate.. Remaining guide, assessment and practical requirements retain their recorded holds.

Prerequisites: read the stated quantities and units, use arithmetic and the model conditions below. Each lesson develops its own method before independent transfer.

These are original or explicitly fictional teaching examples, not actual measurements or completed assessed learner investigations.

Can one average tell the whole story?

• Two groups have the same median but different spread. One summary cannot describe both location and consistency.
• This lesson studies frequency density 频率密度: Frequency divided by class width, used as histogram height.

Choose the mathematical structure

• Compare an appropriate average and spread in context. A histogram uses area for frequency, so height=frequency/class width. Grouped estimates assume representative values within intervals.
• State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.

Work through a checked case

• Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.

Example:

A class from 10 to 20 with frequency 30 has density 30/10=3. A class from 20 to 40 with frequency 20 has density 20/20=1. Its wider bar must not be mistaken for a larger density. For values 2,4,4,6,9, the median is 4 and mean is 5.

Test a tempting shortcut

• The tallest histogram bar need not contain the most observations. A grouped mean is an estimate. Correlation does not prove causation, and extrapolation extends beyond the observed range.
• When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.

Warn:

A histogram bar's height always equals its frequency, even with unequal class widths. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.

Interpret a new situation

• Choose a display that fits the data type. Give both a numerical comparison and what it means for the population; do not infer more precision than the sample supports.
• A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.

Use this in your course

• Current first-assessment-2021 Analysis and Approaches SL. This is authored concept support; the full guide is needed to certify every objective.
• Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.

Key:

Frequency divided by class width, used as histogram height. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.

What changes after the first draw?

• A bag has 3 red and 2 blue counters. Taking two without replacement changes the chance of the second colour.
• This lesson studies conditional probability 条件概率: The probability of an event after restricting the sample space to a stated condition.

Choose the mathematical structure

• Multiply along a tree branch and add disjoint branches. With replacement, the composition stays fixed. Conditional probability is P(A given B)=P(A∩B)/P(B), for P(B)>0.
• State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.

Work through a checked case

• Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.

Example:

Without replacement, P(two red)=3/5×2/4=3/10. P(one of each)=3/5×2/4+2/5×3/4=3/5. If P(A∩B)=0.12 and P(B)=0.3, P(A given B)=0.4.

Test a tempting shortcut

• Mutually exclusive means no overlap; independent means that knowing one event does not change the other's probability. Two disjoint events with positive probability are not independent.
• When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.

Warn:

Mutually exclusive events with positive probabilities must be independent. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.

Interpret a new situation

• A two-way table makes the restricted denominator visible. Before using a product P(A)P(B), justify independence from the context or the supplied information.
• A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.

Use this in your course

• Current first-assessment-2021 Analysis and Approaches SL. This is authored concept support; the full guide is needed to certify every objective.
• Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.

Key:

The probability of an event after restricting the sample space to a stated condition. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.

What makes a count predictable?

• A quality inspector counts defective items. The number is random, but a model can describe its likely range.
• This lesson studies expected value 期望值: The probability-weighted mean of a random variable.

Choose the mathematical structure

• A binomial model needs fixed n, independent trials, two outcomes and constant p. E(X)=np and Var(X)=np(1-p). For a normal model use z=(x-μ)/σ. A Poisson model describes counts with a constant rate and appropriate independence assumptions.
• State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.

Work through a checked case

• Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.

Example:

For X binomial(5,0.2), P(X=0)=0.8^5=0.32768, E(X)=1 and Var(X)=0.8. For a normal quantity with μ=100,σ=15, the value 130 has z=2. A Poisson mean of 3 per hour gives mean 6 over two hours.

Test a tempting shortcut

• Not every count is binomial: changing p or dependence can invalidate it. For a continuous variable, the probability of one exact value is zero. Continuity correction matters when approximating a discrete distribution by a normal one.
• When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.

Warn:

Every count of successes has a binomial distribution regardless of dependence. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.

Interpret a new situation

• Write the event as an inequality before using calculator distribution functions. Distinguish P(X<k), P(X≤k) and a tail complement. State assumptions in context.
• A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.

Use this in your course

• Current first-assessment-2021 Analysis and Approaches SL. This is authored concept support; the full guide is needed to certify every objective.
• Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.

Key:

The probability-weighted mean of a random variable. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.

対応するSLの焦点。最初の評価 2021；現在 through 2028。初回評価-2029コースは別です。残りのガイドライン、評価、実習要件は記録された保留条件を保持します。

前提条件：指定された数量と単位を読み取り、算術を使用し、以下のモデル条件に従う。各授業は独立した転移前に独自の方法を発展させる。

これらは元々または明示的に架空の教学例であり、実際の測定値や完了した評価対象学習者調査ではない。

一点における傾きは何か？

• 湾曲した道路では、位置によって傾きが異なります。平均勾配では各点の傾きを説明できません。
• この授業では導関数を学びます：瞬間的な変化率、すなわち接線の傾きのことです。

数学的構造を選択する

• y=ax^n について、dy/dx=anx^(n-1) です。定常点は dy/dx=0 を満たします。符号の変化を確認するか、二階導関数がゼロでない場合はそれを使って分類してください。
• 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。

確認済みの例 explored を通す

• 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。

例：

y=x³-3x について、dy/dx=3x²-3 です。x=1 における傾きは 0 で、y=-2 です。二階導関数は 6x であり、x=1 で正であるため、これは局所最小点です。x=-1 において、y=2 で二階導関数は負であり、局所最大点となります。

誘惑的な shorthand をテストする

• 導関数がゼロだからといって、常に最大値または最小値であるとは限りません：y=x³ は 0 で定常点ですが、増加を続けます。制限された定義域において、端点も極値を生むことがあります。
• 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。

警告：

導関数がゼロである点は、必ず局所最大値または最小値である。この主張は誤りである。どの定義や前提条件に違反しているかを説明せよ。

新しい状況解釈する

• GCSE/IGCSEでは、レベルごとの多項式の範囲内に留め、その段階で合成関数の微分法（チェーンルール）、積の微分法、商の微分法を用いてはいけない。上級レベルでは、有効な定義域と関連付けて、導関数を速度や最適化問題に結びつけること。
• 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。

課程でこの手法を用いる

• 初回評価2021 分析およびアプローチ SL。これは著者による概念支援です。すべての目標を証明するには、完全なガイドが必要です。
• 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。

重要：

瞬間変化率、すなわち接線の傾き。適切な関係式を選び、計算過程を示し、適用条件を検証して結果を解釈せよ。

どれだけ変化が蓄積したか？

• 速度-時間グラフから瞬時の運動状態がわかる。では、時間の経過とともに蓄積された変位をどう求めればよいか。
• この授業では原関数を学ぶ：与えられた被積分関数の導関数に等しい関数である。

数学的構造を選択する

• n≠-1 のとき、ax^n の不定積分は ax^(n+1)/(n+1)+C である。定積分は符号付きの蓄積量である。総面積や距離を求める場合は、符号が変わる点で区切って計算する。
• 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。

確認済みの例 explored を通す

• 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。

例：

v(t)=3t²-3 について、0≤t≤2 の区間における変位は [t³-3t]_0^2=2 です。v が t=1 で符号を変化するため、移動距離は -[t³-3t]_0^1+[t³-3t]_1^2=2+4=6 となります。定数項が相殺されるのは、終端値を代入する（定積分）場合に限られます。

誘惑的な shorthand をテストする

• 1/x の積分は n=-1 の累乗則ではなく ln|x|+C です。総被積領域の面積が正であっても、有向面積はゼロになり得ます。
• 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。

警告：

グラフが軸を横切っても、定積分は常に正の総面積に等しいという主張は誤りです。どの定義または前提条件に反するかを説明しなさい。

新しい状況解釈する

• 積分の意味を特定し、正しい単位を含める。秒あたりで測定された率は、他の率ではなく基盤となる quantity に積分される。反導関数を微分して確認せよ。
• 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。

課程でこの手法を用いる

• 初回評価2021 分析およびアプローチ SL。これは著者による概念支援です。すべての目標を証明するには、完全なガイドが必要です。
• 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。

重要：

与えられた被積分関数の導関数に等しい関数です。関係性を選び、手法を示し、仮定を確認し、結果を解釈しなさい。

Supported SL focus. First assessment 2021; current through 2028. First-assessment-2029 course is separate.. Remaining guide, assessment and practical requirements retain their recorded holds.

Prerequisites: read the stated quantities and units, use arithmetic and the model conditions below. Each lesson develops its own method before independent transfer.

These are original or explicitly fictional teaching examples, not actual measurements or completed assessed learner investigations.

What makes an investigation mathematical?

• A student wants to predict queue waiting time at the school canteen. A useful exploration needs a question, data and mathematics the student can explain.
• This lesson studies assumption 假设: A condition adopted to make a mathematical model possible and whose effect should be evaluated.

Choose the mathematical structure

• Frame a focused question with measurable variables and a feasible method. Keep a dated record of decisions, sources and mathematical reasoning. Use technology to support analysis, and explain every important output in your own words.
• State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.

Work through a checked case

• Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.

Example:

A pilot records mean waiting times of 3,5,7 minutes when 10,20,30 people are ahead. A first model is t=1+0.2n. At n=25 it predicts 6 minutes. An actual wait of 8 gives residual 2; investigate varying service rates rather than hiding the mismatch.

Test a tempting shortcut

• Do not copy a sample exploration, invent data or manufacture personal engagement. A prediction is not evidence until it is compared with observations. Consent and privacy matter when collecting school data.
• When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.

Warn:

The school-supervised mathematical exploration can be replaced by a timed written mock exam. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.

Interpret a new situation

• The school supervises topic approval, checkpoints, authenticity and assessment. For the current 2021 course use the current school's guide and criteria; the 2029 inquiry criteria belong to a different assessment version.
• A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.

Use this in your course

• Current first-assessment-2021 Analysis and Approaches SL. This is authored concept support; the full guide is needed to certify every objective.
• Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.

Key:

A condition adopted to make a mathematical model possible and whose effect should be evaluated. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.