5 · 微積分

このプリントには、2021 に初めて評価されるコースのためのHLトピックの一部が掲載されています。これはカリキュラム全体ではありません。

前提条件：指定された数量と単位を読み取り、算術および以下のモデル条件を使用すること。

これらの例は独自かつ架空のものであり、実際の測定値や実際の生徒による調査ではありません。

一点における傾きは何か？

• 湾曲した道路では、位置によって傾きが異なります。平均勾配では各点の傾きを説明できません。
• この授業では導関数を学びます：瞬間的な変化率、すなわち接線の傾きのことです。

手法

• y=ax^n のとき、dy/dx=anx^(n-1)。
• 定常点は dy/dx=0 を満たす。
• 導関数の符号の変化を確認するか、または二階導関数がゼロでない場合にそれを用いて分類する。

演習例

例：

y=x³-3x について、dy/dx=3x²-3 です。x=1 における傾きは 0 で、y=-2 です。二階導関数は 6x であり、x=1 で正であるため、これは局所最小点です。x=-1 において、y=2 で二階導関数は負であり、局所最大点となります。

誤りのポイント

• 導関数がゼロだからといって必ず最大値または最小値を意味するわけではない: y=x³ は 0 で定常点となるが、単調に増加し続ける。
• 境界点も制限された定義域において極値を生むことがある。

誤り： 導関数がゼロとなるすべての点は局所最大値または最小値である。導関数がゼロとなる点は転移点也可以是有的：y=x³ は x=0 において最大値でも最小値でもない。

応用

• GCSE/IGCSE では、_SPEC_によって許可される多項式の範囲のみを使用し、その場に合成関数・積の微分・商の微分の法則を追加してはならない。
• 上級レベルでは、有効な定義域において導関数を変化率や最適化問題と関連させる。

学習内容

• 分析とアプローチ HL（2021に初めて試験されたコース）
• 電卓使用不可問題（Paper 1）では、分数、根号、πを正確な形で残し、各手順を示してください。電卓使用問題でも、値の前に式を書きます。

重要：

• 導関数：瞬間的な変化率であり、接線の傾きでもある。
• y=ax^n のとき、dy/dx=anx^(n-1)。
• 注意：導関数がゼロであっても、必ずしも最大値または最小値を意味するわけではない：y=x³ は 0 で定常点であるが、増加し続ける。

導関数 8 から記述する

• y = x² − 10x について、x = 9 における微分係数を求める。
• 停留点を求める。微分係数が 0 であっても必ずしも転移点ではない。

どれだけ変化が蓄積したか？

• 速度-時間グラフから瞬時の運動状態がわかる。では、時間の経過とともに蓄積された変位をどう求めればよいか。
• この授業では原関数を学ぶ：与えられた被積分関数の導関数に等しい関数である。

手法

• n≠-1 のとき、ax^n の積分は ax^(n+1)/(n+1)+C である。
• 定積分は符号付きの蓄積である。
• 総面積や距離を求める場合は、符号の変化で区切る。

演習例

例：

v(t)=3t²-3 について、0≤t≤2 の区間における変位は [t³-3t]_0^2=2 です。v が t=1 で符号を変化するため、移動距離は -[t³-3t]_0^1+[t³-3t]_1^2=2+4=6 となります。定数項が相殺されるのは、終端値を代入する（定積分）場合に限られます。

誤りのポイント

• 1/x の積分は ln|x|+C であり、n=-1 の累乗則ではない。
• 総の閉じた面積が正であっても、有向面積はゼロになり得る。

誤り： 定積分は常に総正の面積に等しいわけではない。グラフが軸を横切る場合、軸以下の面積は負として扱われるため、定積分は総面積より小さかったり、ゼロになったりする。

応用

• 積分の意味を理解し、正しい単位を含める。
• 秒あたりの率の積分は、別の率ではなく元の量になる。
• 原関数を微分して確認する。

学習内容

• 分析とアプローチ HL（2021に初めて試験されたコース）
• 電卓使用不可問題（Paper 1）では、分数、根号、πを正確な形で残し、各手順を示してください。電卓使用問題でも、値の前に式を書きます。

重要：

• 原関数：その導関数が与えられた被積分関数に等しい関数。
• n≠-1 のとき、ax^n の積分は ax^(n+1)/(n+1)+C である。
• 注意：1/x の積分は ln|x|+C であり、n=-1 の累乗則ではない。

積分 9 から記述する

• 2x の 0 から 3 までの定積分を求める。
• v = t − 2 について、t = 0 から t = 4 までの変位と移動距離を求める。符号付きの定積分は総移動距離ではない。

内部の式も変化しますか？

• 費用曲線は、変化する式べき乗として表される。外側のべき乗だけを微分すると、入力の変化率を見落としてしまう。
• この授業では**合成関数の微分法（チェーンルール）**を学ぶ：複合関数において、外側の導関数と内側の導関数を掛け合わせる法則である。

手法

• y=f(g(x)) のとき、y' = f'(g(x))g'(x)。
• uv の場合、u'v + uv' に微分する。
• u/v の場合、(u'v - uv')/v² を用い、ただし v≠0 。

演習例

例：

y=(3x+1)^4 のとき、y'=4(3x+1)^3×3=12(3x+1)^3。x=0 における傾きは 12。x²+y²=25 を暗黙的に微分すると、2x+2y y'=0 となり、y≠0 のとき y'=-x/y となる。

誤りのポイント

• 積の導関数は、個々の導関数の積ではない。
• 暗微分において、y の関数を微分するたびに dy/dx が因子として付く。
• 商の分母は二乗される。

誤りである： u(x)v(x) の導関数は常に u' × v' ではない。積の法則は (uv)′=u′v+uv′ であり、x·x の導関数は 2x であり、1×1=1 ではない。

応用

• 微分する前に適切な形を選ぶ：短い多項式を展開した方が単純な場合がある。
• 関連する変化率については、関係式を記号で表し、時間を基準に微分した後に測定値を代入します。

学習内容

• 分析とアプローチ HL（2021に初めて試験されたコース）
• 電卓使用不可問題（Paper 1）では、分数、根号、πを正確な形で残し、各手順を示してください。電卓使用問題でも、値の前に式を書きます。

重要：

• 連鎖律: 合成関数において、外側の微分値と内側の微分値を掛け合わせる法則です。
• y=f(g(x)) のとき、y' = f'(g(x))g'(x)。
• 注意: 積の微分は、それぞれの微分の積とは限りません。

11 の積の導関数から式を導く

• y = (2x + 1)(x + 3) について、x = 1 における微分係数を求める。
• 积の微分は微分の积ではない。

2つの因子を別々に積分できますか？

• xe^x のように見かけ上の単純な積も、各因数を別々に積分することで解くことはできません。
• このレッスンでは部分積分法を学びます：积の導関数に基づく積分法です。

手法

• 内側の微分項が因数として現れる場合に置換法を用いる。
• 部分積分法により、∫u v' = uv - ∫u' v。
• 有理関数の場合、必要に応じて割り算を行い、その後部分分数に分解する。

演習例

例：

∫xe^x dx については、u=x、v'=e^x とおくと、積分値は xe^x-e^x+C となります。∫2x/(x²+1) dx については、w=x²+1 とおき、dw=2x dx となるため、答えは ln(x²+1)+C となります。

誤りのポイント

• u と v' の選び方が重要である：残りの積分がより単純になるようにする。
• 定積分の置換では、 either 積分区間を変更するか、元の積分区間に適用する前に x に戻す。

誤り： 積の積分はそれぞれの積分の積に等しい。積には部分積分法や置換法などの手法が必要である：∫x·x dx=x³/3 であり、(x²/2)(x²/2) ではない。

応用

• 微分して確認する。
• x軸周りの回転体体積には V=π∫y² dx を用います。関数の二乗と関数の積分を混同しないでください。

学習内容

• 分析とアプローチ HL（2021に初めて試験されたコース）
• 電卓使用不可問題（Paper 1）では、分数、根号、πを正確な形で残し、各手順を示してください。電卓使用問題でも、値の前に式を書きます。

重要：

• 部分積分法：積の導関数に基づく積分の手法。
• 内側の微分項が因数として現れる場合に置換法を用いる。
• 注意：u と v' の選び方が重要である：残りの積分がより単純になるようにする。

18 の体積要素から式を導く

• 直線 y = 3 を x 軸の周りに 0 から 2 まで回転させたときの体積を π で割った値を求める。
• 積の積分は、積分の積ではない。

初期値は何かを決定しますか？

• 増加する人口の成長率は現在のサイズに比例します。成長方程式は初期人口が与えられるまで、一つの家族（一連の解）を記述しています。
• この授業では初期条件を学びます。ある解の族の中から特定の解を選択するための指定された値です。

手法

• dy/dx=ky に対して変数分離を行うと、dy/y=k dx となり、y=Ae^(kx) が得られる。
• 初期条件を用いて A を求める。
• エラー法では y_next=y+h f(x,y) を用い、適切なステップ h を選ぶ。

演習例

例：

dy/dx=0.5y かつ y(0)=2 のとき、y=2e^(0.5x)。Euler 法 h=0.2 を用いると、y(0.2)≈2+0.2×1=2.2 および y(0.4)≈2.2+0.2×1.1=2.42。正確な2番目の値は約 2.4428。

誤りのポイント

• 初期条件は積分定数を決定するためのものであり、積分の代替ではない。
• y で割ると、平衡解 y=0 を見落とす可能性がある。
• Euler の精度はステップサイズと方程式に依存する。

正しくない： すべてのステップサイズが同じエラ近似を与えるわけではない。エラー法はステップサイズに依存し、通常、より小さいステップの方が精度が高い値を得る。

応用

• 2階線形微分方程式については、補関数に適切な特解を加え、必要な初期条件を適用する。
• これはFurther Pureの範囲であるため、指定された単元を確認すること。

学習内容

• 分析とアプローチ HL（2021に初めて試験されたコース）
• 電卓使用不可問題（Paper 1）では、分数、根号、πを正確な形で残し、各手順を示してください。電卓使用問題でも、値の前に式を書きます。

重要：

• 初期条件：特定の解を選別するための指定された値であり、解の族中的一个を選択するもの。
• dy/dx=ky に対して変数分離を行うと、dy/y=k dx となり、y=Ae^(kx) が得られる。
• 留意点：初期条件は積分定数を決定するためのものであり、積分の代替ではない。

4.4 の最初のオイラー値から式を導く

• y' = 0.5 y に対して、y = 4 で始まるstep 0.2 のオイラー法を用いる。
• 最初の2つの近似値を求める。異なるstepサイズでは異なる近似値が得られる。

4.84 の2番目のオイラー値から式を導く

• 計算をさらに1ステップ進める。
• 各ステップで 1 + 0.5 x 0.2 = 1.1 を掛け合わせるため、値は 4, 4.4, 4.84 となる。

正確な値 4.886 から式を導く

• y prime = 0.5 y を厳密に解き、x = 0.4 で評価する。
• y = 4 e^0.5x は 4.886 を与えるが、Eulerの4.84法は曲線が上に凸であるため、推定値が下回ってしまう（アンダーシュート）。