3 · 幾何学と三角関数

このプリントには、2021 に初めて評価されるコースのためのHLトピックの一部が掲載されています。これはカリキュラム全体ではありません。

前提条件：指定された数量と単位を読み取り、算術および以下のモデル条件を使用すること。

これらの例は独自かつ架空のものであり、実際の測定値や実際の生徒による調査ではありません。

体積は長さのようにスケールするか？

• モデルの実物からの長さの比は1/3である。このモデルの面積と体積はそれぞれ実物の何分の幾つであるか。
• この授業では**拡大率（スケーリングファクター）**を学びます：相似な図形の対応する長さを関係づける乗数です。

手法

• 長さの拡大率がkの相似形の場合、面積は k² 倍、体積は k³ 倍になる。
• 角度の理由を具体的に述べる。
• 円の接線は、接点における半径に垂直である。

演習例

例：

モデルから実物への長さの倍率が 3 の場合、モデルの面積が 12 cm² なら、12×3²=108 cm² となり、モデルの体積が 8 cm³ なら、8×3³=216 cm³ となります。半径 r=3、高さ h=5 の円柱の体積は πr²h=45π です。

誤りのポイント

• 角が等しいことだけでは相似性が成立し、大きさの同一性は示されない。
• 対応する辺の長さは同じ順序で用いる。
• 面積や体積を計算する前に線形単位を変換するか、または換算係数を正しく二乗・三乗する。

Not true: Doubling every length of a solid doubles its volume. Volume scales by the cube of the length factor: doubling every length multiplies the volume by 8.

応用

• 幾何学的証明では、関連する定理を明記し、等しい角や比を特定し、結論を導くべきである。
• 縮尺図は、問題が測定を許可する場合に限って証拠となる。

学習内容

• 分析とアプローチ HL（2021に初めて試験されたコース）
• 電卓使用不可問題（Paper 1）では、分数、根号、πを正確な形で残し、各手順を示してください。電卓使用問題でも、値の前に式を書きます。

重要：

• 拡大率: 相似形の対応する辺の長さを関連付ける倍率。
• 長さの拡大率がkの相似形の場合、面積は k² 倍、体積は k³ 倍になる。
• 注意: 角が等しいことだけでは相似性が成立し、大きさの同一性は示されない。

体積の拡大率 125 から書く

• 長さの倍率は 5 である。
• Find the area factor and the volume factor. Doubling lengths does not double the volume.

はしごにはどの辺が必要か？

• はしごの先端の高さが 4 m で、足元の壁からの距離が 3 m です。どの辺が既知であり、どの角度が必要ですか？
• この授業では斜辺を学びます：直角三角形において直角と向かい合う辺です。

手法

• 直角三角形において a² + b² = c²; sinθ = 対辺/斜辺, cosθ = 隣辺/斜辺, tanθ = 対辺/隣辺。
• その他の三角形については、正弦定理または余弦定理を使用するか、面積 = ab sin C / ⟨2⟩ を用いる。

演習例

例：

梯子の長さ c=√(3²+4²)=5 m です。地面に対する角度 θ は tanθ=4/3 を満たすため、θ≈53.1° です。2つの辺 6 と 8 が 60° で交わる場合、c²=6²+8²-2×6×8 cos60°=52 です。

誤りのポイント

• 選択した角度に対して辺にラベルを付ける。
• ピタゴラスの定理は直角を必要とする。
• 電卓の角度モードエラーは、妥当そうだが誤った結果を生むことがある。
• 後続の計算のために、丸められた値ではなく未丸め値を保持する。

誤り: ピタゴラスの定理は直角のない三角形を含むすべての三角形に適用される。ピタゴラスの定理は直角を必要とし、その他の三角形には余弦定理を用いる。

応用

• 三次元問題に三角形則を適用する前に、断面図または立面図を使用する。
• 選んだ三角形が求める長さや角度を含んでいる理由を説明する。

学習内容

• 分析とアプローチ HL（2021に初めて試験されたコース）
• 電卓使用不可問題（Paper 1）では、分数、根号、πを正確な形で残し、各手順を示してください。電卓使用問題でも、値の前に式を書きます。

重要：

• 斜辺: 直角三角形において直角の向かい側にある辺。
• 直角三角形において a² + b² = c²; sinθ = 対辺/斜辺, cosθ = 隣辺/斜辺, tanθ = 対辺/隣辺。
• 注意：選んだ角に対して辺にラベルを付けること。

斜辺 25 から書く

• A right triangle has legs 7 and 24.
• 斜辺と面積を求める。ピタゴラスの定理は直角三角形にのみ適用される。

輪郭線はどれだけ移動するか？

• 回転する車輪は弧を描く。ラジアンを用いることで、角度をそのまま車輪周縁を移動した距離に結びつけることができる。
• この単元ではラジアンを学ぶ：長さが半径と同じ弧がなす角のこと。

手法

• θがラジアンの場合、弧の長さ s=rθ、扇形の面積 A=r²θ/2。
• sin²θ+cos²θ=1および角度の恒等式を用いて式を簡略化したり解いたりする。
• 指定された区間内のすべての解をリストする。

演習例

例：

r=4 かつ θ=π/3 のとき、s=4π/3 かつ A=8π/3 です。sin x=1/2 を 0≤x<2π で解くと、x=π/6 および 5π/6 が得られます。sin2x=1/2 の場合、0≤2x<4π でまず解き、その後 2 で除してください。

*弧の長さ = rθ（θ がラジアン単位の場合）

誤りのポイント

• 電卓の逆正弦関数は1つの主値を与える。
• すべての解を与えるわけではない。
• sin x で除算すると、sin x=0 の解を除外してしまうことがあるので、まずその場合を確認すること。

Not true: The principal inverse sine value is always the only solution in a full turn. Sine takes most values twice in a full turn: sin x=0.5 gives 30° and 150°.

応用

• 方程式を単一の三角関数に還元できる恒等式を選ぶ。
• 可能な限り正確な標準的な角度を維持し、各解を元の方程式で確認する。

学習内容

• 分析とアプローチ HL（2021に初めて試験されたコース）
• 電卓使用不可問題（Paper 1）では、分数、根号、πを正確な形で残し、各手順を示してください。電卓使用問題でも、値の前に式を書きます。

重要：

• ラジアン: 弧の長さが半径に等しい弧によって形成される角。
• θがラジアンの場合、弧の長さ s=rθ、扇形の面積 A=r²θ/2。
• 注意：電卓の逆正弦関数は1つの主値を与える。

弧の長さ 3 から書く

• 円の半径は 6 で、角度は 0.5 ラジアンである。
• 弧の長さと扇形の面積を求める。主値の逆正弦関数だけが、一周における唯一の解ではない。

なぜ変位は移動距離より短いのか？

• 東へ 4 m、北へ 3 m 歩くと、移動距離は 7 m であるにもかかわらず、変位は 5 m となる。
• この授業では合成ベクトルを学ぶ： combined displacement（合体した変位）や力を表すベクトルの和である。

手法

• 対応するベクトルの成分を加算する。
• 点Aから点Bへの移動ベクトルは OB - OA である。
• 平行なベクトルは定数倍である。
• ベクトルには大きさ（絶対値）と方向があり、距離はスカラー量である。

演習例

例：

a=(4,1) 、b=(1,3) のとき、a+b=(5,4) です。それらのスカラー積は a·b=4×1+1×3=7 です。a の大きさ（magnitude）は √17 です。A=(1,2) 、B=(5,5) のとき、AB=(4,3) であり、|AB|=5 です。

AB = (4, 3) の大きさは √(4² + ²² + 3² + ²²) = 5（※原文の記号配置に従い、計算式は数学的意味に基づき修正）

誤りのポイント

• 引き算の順序は重要である：BA = −AB。
• 平行性の証明にはスカラー倍の関係が必要であり、スケッチだけでは不十分である。
• 負の拡大縮小は、中心に対して位置を反転させる。

誤り： AB と BA は常に同じ成分を持つわけではない。BA は AB と逆向きであるため、BA=−AB であり、すべての成分の符号が反転する。

応用

• 平行移動では、すべての点が同じ変位ベクトルを持つ。
• 高度な直線の問題では、位置ベクトルと方向ベクトルを区別し、パラメータ方程式を一貫して解く。

学習内容

• 分析とアプローチ HL（2021に初めて試験されたコース）
• 電卓使用不可問題（Paper 1）では、分数、根号、πを正確な形で残し、各手順を示してください。電卓使用問題でも、値の前に式を書きます。

重要：

• 合成ベクトル：結合した変位や力を表すベクトル和。
• 対応するベクトルの成分を加算する。
• 注意：減算の順序は重要である。BA=-ABとなる。

x成分 9 から書く

• ベクトル (3, 1) と (6, 2) を加算する。
• (6, 8) の大きさおよびスカラー積を求める。AB と BA は同じ成分を持たない。

大きさ 5 から書く

• ベクトル (minus 3, 4) の大きさを求める。
• 大きさは成分に対するピタゴラスの定理である：9 と 16 の和のルート = 5。

スカラー積がゼロから書く

• (2, 3) と (minus 6, 4) のスカラー积を求める。
• 2 × (マイナス 6) + 3 × 4 = 0 — 内積がゼロであることは、ベクトルが直交していることを意味する。