1 ・数と代数学

支援HLの焦点。最初の評価 2021；現在 2028。最初の評価-2029 コースは別枠である。残りのガイド、評価、実務要件は登録された保留事項のままとする。

前提条件：指定された数量と単位を読み取り、算術を使用し、以下のモデル条件に従う。各授業は独立した転移前に独自の方法を発展させる。

これらは元々または明示的に架空の教学例であり、実際の測定値や完了した評価対象学習者調査ではない。

余りなく詰めることはできるか

• 供給業者は72本の鉛筆と90本のペンを同じギフトバッグに入れる。端材を出さないにはどうすればよいか。
• この授業では素因数を学ぶ：整数を割り切れる素数のこと。

数学的構造を選択する

• 素因数分解は共通構造を明らかにする。最大公約数(HCF)には最小の共通素因数の累乗を、最小公倍数(LCM)には最大の素因数の累乗を用いる。計算前に概算を行い、演算順序を守るために括弧を使用せよ。
• 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。

確認済みの例 explored を通す

• 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。

例：

72=2^3×3^2 および 90=2×3^2×5。それらのHCFは 2×9=18 である。18個の袋を作成し、各袋に4本の鉛筆と5本のペンを詰める。それらのLCMは 2^3×3^2×5=360 である。

誘惑的な shorthand をテストする

• HCFは両方の数を割るが、LCMは両方の数の倍率である。異なる問いに答える。小数での概算は正確な分数ではない。
• 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。

警告：

正の整数2つのHCFは、いずれの整数よりも常に大きい。この主張は誤りである。どの定義や仮定に違反するかを説明せよ。

新しい状況解釈する

• 電卓使用不可の試験では、分数を正確に保ち、約分を示す。電卓使用可の試験では、完全な式を入力して概算と比較せよ。
• 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。

課程でこの手法を用いる

• Current first-assessment-2021 Analysis and Approaches HL. これは著者概念支援であり、すべての目標を認定するには完全なガイドが必要です。
• 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。

重要：

整数を割り切れる素数である。関係を選択し、手順を示し、仮定を検証し、結果を解釈せよ。

微視的な長さはいくらか？

• 顕微鏡で長さが0.000072メートルとして記録された。コンパクトな表記ではそのサイズが正確に保たれる必要がある。
• この授業では指数を学ぶ：底を乗じているべき乗。

数学的構造を選択する

• 同じ正の底の場合、掛け算は指数を加え、割り算は指数を引く。負の指数は逆数を表し、分数の指数は根を表す。標準形は1≤a<10である。
• 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。

確認済みの例 explored を通す

• 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。

例：

0.000072=7.2×10^(-5)。また 16^(3/4)=(16^(1/4))^3=2^3=8。√72=6√2 に単純化し、 $1/\sqrt{2}$=√2/2 の分母を有理化せよ。

誘惑的な shorthand をテストする

• 指数法則は和を単一のべき乗に変換しない: 2^3+2^4=24 であり、2^7 ではない。正確な答えが求められている場合、累乗根を丸めてはならない。
• 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。

警告：

すべての正のaについて、a^2+a^3 は a^5 に等しい。この主張は誤りである。どの定義または仮定に違反しているかを説明せよ。

新しい状況解釈する

• 10のべき乗が元の数量と一致するか確認する。正確な幾何学には累乗根を使用し、問題が小数での回答を求めている場合にのみ最終的な長さを丸めること。
• 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。

課程でこの手法を用いる

• Current first-assessment-2021 Analysis and Approaches HL. これは著者概念支援であり、すべての目標を認定するには完全なガイドが必要です。
• 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。

重要：

底を乗じているべき乗。関係性を選び、手法を示し、仮定をチェックし、結果を解釈せよ。

その変化は加算か乗算か？

• 貯蓄計画では毎週¥30が追加され、人口モデルでは毎年5%増加します。等しい差分と等しい比には、異なるモデルが必要です。
• この授業では公比を学びます：幾何数列における連続する項間の一定の倍率です。

数学的構造を選択する

• 等差数列については、u_n=a+(n-1)d および S_n=n(2a+(n-1)d)/2 です。等比数列については、u_n=ar^(n-1) および S_n=a(1-r^n)/(1-r) です。無限等比級数が収束するのは |r|<1 の場合のみです。
• 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。

確認済みの例 explored を通す

• 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。

例：

a=5, d=3, n=8 のとき、u_8=5+7×3=26 であり、S_8=8(10+21)/2=124 です。a=12, r=1/2 のとき、無限和 S=12/(1-1/2)=24 です。u_(n+1)=2u_n+1 で u_1=1 の場合、次の項は 3,7,15 です。

誘惑的な shorthand をテストする

• 初項の添字は 1 であるため、指数は n-1 となります。数列はリスト、級数は和です。等比数列は符号が交互であっても収束することがあります。
• 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。

警告：

すべての幾何級数は、無限和として有限の値を持ちます。この主張は誤りです。どの定義や仮定を違反しているかを説明してください。

新しい状況解釈する

• 文脈が加法的変化か乗法的変化を正当化しているかを説明してください。金融においては、単一の預入金と複数の預入金の流れを区別して、和の公式を選ぶ必要があります。
• 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。

課程でこの手法を用いる

• Current first-assessment-2021 Analysis and Approaches HL. これは著者概念支援であり、すべての目標を認定するには完全なガイドが必要です。
• 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。

重要：

幾何数列における連続する項間の一定の倍率です。関係性を選び、手法を示し、仮定を確認し、結果を解釈してください。

元の価格を取り戻せるか？

• コートが 20% 引きで ¥240 になります。割引は販売価格ではなく、元の価格に適用されます。
• この授業では乗数を学びます。単一の乗算で百分率の変化を行う因数です。

数学的構造を選択する

• p% の増減には乗数が 1+p/100；減少の場合、乗数は 1-p/100 です。百分率の逆算には、乗数で割ります。比においては、まず部分の総数を求めます。
• 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。

確認済みの例 explored を通す

• 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。

例：

元の価格を P とします。モデルは 販売価格=0.8P です。したがって P=240/0.8=300 です。その後の 20% の増減により 240×1.2=288 となり、二つの変動は相殺されません。

誘惑的な shorthand をテストする

• 百分率は指定された基準を用います。百分率を引くことにより、その基準が失われます。複合的な変化については、百分率を加算するのではなく、乗数を掛け合わせます。
• 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。

警告：

20% の減価 followed by a 20% の増価で始点の価格に戻るという主張は誤りです。どの定義または仮定に違反しているかを説明してください。

新しい状況解釈する

• 直接比例には y=kx；反比例には y=k/x を用います。新しい値を使う前に、既知のペアから k を計算します。何を保ったかを明記してください。
• 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。

課程でこの手法を用いる

• Current first-assessment-2021 Analysis and Approaches HL. これは著者概念支援であり、すべての目標を認定するには完全なガイドが必要です。
• 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。

重要：

単一の乗算で百分率の変化を行う因数です。関係性を選び、手法を示し、仮定を確認し、結果を解釈してください。

根が実数でない場合は？

• 方程式 x²+1=0 は実数解を持たない。数の系を拡張することで、両方の根を表し計算することが可能になる。
• この授業では共役複素数を学習します。虚部の符号を反転して得られる数のことです。

数学的構造を選択する

• i²=-1と置いたとき、z=a+bi と表せます。その共役数は a-bi であり、z とその共役数の積は a²+b² です。絶対値（モジュラス）は √(a²+b²) で、偏角は正しい象限を選ぶ必要があります。実係数の多項式では、共役な解が対になって現れます。
• 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。

確認済みの例 explored を通す

• 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。

例：

z=3+4i のとき、|z|=5 であり、zの共役复素数は3-4i である。逆数は (3-4i)/25 である。x²-6x+13=0 の解は 3±2i である。共役复素数との積をとることで、複素分母を実数にする。

誘惑的な shorthand をテストする

• 和の平方根は平方根の和とは限りません。単なる逆正接関数だけでは、誤った象限を返すことがあります。絶対値（モジュラス）と絶対値の二乗を混同しないでください。
• 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。

警告：

a+bi について、その絶対値は常に a+b であるという主張は誤りである。どの定義や仮定に違反しているかを説明せよ。

新しい状況解釈する

• 実軸を水平に、虚軸を垂直に描きます。積については、絶対値は掛け合わせられ、偏角は足し算されます。デ・モワールの定理によって、この幾何学的なパターンは冪の計算にも拡張されます。
• 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。

課程でこの手法を用いる

• Current first-assessment-2021 Analysis and Approaches HL. これは著者概念支援であり、すべての目標を認定するには完全なガイドが必要です。
• 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。

重要：

虚部符号を反転させた数である。関係を選び、手順を示し、仮定を確認し、結果を解釈せよ。

小さな変化は冪にどう影響するか？

• 微小の変化が量のべき乗に影響を与える。展開式によって、一次および二次の項の大きさを示すことができる。
• この授業では二項係数を学ぶ：有限個の要素から特定の数の対象を選ぶ組み合わせの数である。

数学的構造を選択する

• n が正の整数の場合、(a+b)^n は有限の二項展開となる。n が非整数の場合、(1+x)^n を 1+nx+n(n-1)x²/2+... と展開し、|x|<1とする。この形を用いる前に定数を括り出すこと。
• 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。

確認済みの例 explored を通す

• 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。

例：

(1+2x)^5=1+10x+40x²+80x³+80x⁴+32x⁵。 (1+x)^(-1 の場合、最初の3項は 1-x+x² であり、x=0.1 のとき、近似値は 0.91 となるが、正確な値 1/1.1≈0.909091 と異なる。

誘惑的な shorthand をテストする

• 2x に関する展開において、無限級数が成立するには |2x|<1 が必要であり、単に |x|<1 であるだけでは不十分です。正整数に関する展開は有限であり、そのような収束条件はありません。
• 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。

警告：

すべての二項展開は、正の整数でない冪を含めて有限多項式である。この主張は誤りである。どの定義または仮定に違反しているかを説明せよ。

新しい状況解釈する

• 近似式 alongside 有効性の範囲を明記する。指定された精度を支える十分な項を残し、係数と x を含む項全体を区別せよ。
• 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。

課程でこの手法を用いる

• Current first-assessment-2021 Analysis and Approaches HL. これは著者概念支援であり、すべての目標を認定するには完全なガイドが必要です。
• 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。

重要：

有限個の要素から特定の数の対象を選ぶ組み合わせの数。関係性を選び、手法を示し、仮定を確認し、結果を解釈せよ。

多項式で指数関数を近傍で代用できるか？

• 既知の点の近くでは、複雑な関数を多項式の近似で置き換えることができる。近似には中心と有効なスケールが必要である。
• この授業ではテイラー多項式を学ぶ：選んだ中心における関数の導関数から構成される多項式である。

数学的構造を選択する

• x=a について、展開が有効なとき、f(x)=f(a)+f prime(a)(x-a)+f double prime(a)(x-a)²/2!+... 。a=0 のとき、これはマクローリン展開である。有限和は、項の相殺や標準的な和の公式によって簡略化されることもある。
• 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。

確認済みの例 explored を通す

• 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。

例：

e^x の最初の3項は 1+x+x²/2 である。x=0.1 のとき、これは 1.105 となり、e^0.1≈1.105170 に近い。k=1 から 5 までの k² の和について、n(n+1)(2n+1)/6 は 5×6×11/6=55 を与える。

誘惑的な shorthand をテストする

• 階乗はすべてのテイラー係数の分母に位置する。展開の中心が常にゼロとは限らない。中心に近い近似でも、遠方では精度が低下することがある。
• 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。

警告：

テイラー多項式は、すべての入力に対して元の関数と常に一致する。この主張は誤りである。どの定義または仮定に違反しているかを説明せよ。

新しい状況解釈する

• 逆算級数（テレスコーピング級数）については、いくつかの項を書き出し、残る両端の項を特定せよ。テイラー近似については、その次数を明記し、必要に応じて既知の値や余りの推定値と比較せよ。
• 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。

課程でこの手法を用いる

• Current first-assessment-2021 Analysis and Approaches HL. これは著者概念支援であり、すべての目標を認定するには完全なガイドが必要です。
• 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。

重要：

選択した中心点における関数の微分から作られる多項式。関係式を選び、手法を示し、その前提条件を確認して結果を解釈せよ。