国際バカロレア · IB Diploma · Mathematics: Analysis and Approaches · HL

支援HLの焦点。最初の評価 2021；現在 2028。最初の評価-2029 コースは別枠である。残りのガイド、評価、実務要件は登録された保留事項のままとする。

前提条件：指定された数量と単位を読み取り、算術を使用し、以下のモデル条件に従う。各授業は独立した転移前に独自の方法を発展させる。

これらは元々または明示的に架空の教学例であり、実際の測定値や完了した評価対象学習者調査ではない。

余りなく詰めることはできるか

• 供給業者は72本の鉛筆と90本のペンを同じギフトバッグに入れる。端材を出さないにはどうすればよいか。
• この授業では素因数を学ぶ：整数を割り切れる素数のこと。

数学的構造を選択する

• 素因数分解は共通構造を明らかにする。最大公約数(HCF)には最小の共通素因数の累乗を、最小公倍数(LCM)には最大の素因数の累乗を用いる。計算前に概算を行い、演算順序を守るために括弧を使用せよ。
• 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。

確認済みの例 explored を通す

• 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。

例：

72=2^3×3^2 および 90=2×3^2×5。それらのHCFは 2×9=18 である。18個の袋を作成し、各袋に4本の鉛筆と5本のペンを詰める。それらのLCMは 2^3×3^2×5=360 である。

誘惑的な shorthand をテストする

• HCFは両方の数を割るが、LCMは両方の数の倍率である。異なる問いに答える。小数での概算は正確な分数ではない。
• 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。

警告：

正の整数2つのHCFは、いずれの整数よりも常に大きい。この主張は誤りである。どの定義や仮定に違反するかを説明せよ。

新しい状況解釈する

• 電卓使用不可の試験では、分数を正確に保ち、約分を示す。電卓使用可の試験では、完全な式を入力して概算と比較せよ。
• 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。

課程でこの手法を用いる

• Current first-assessment-2021 Analysis and Approaches HL. これは著者概念支援であり、すべての目標を認定するには完全なガイドが必要です。
• 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。

重要：

整数を割り切れる素数である。関係を選択し、手順を示し、仮定を検証し、結果を解釈せよ。

微視的な長さはいくらか？

• 顕微鏡で長さが0.000072メートルとして記録された。コンパクトな表記ではそのサイズが正確に保たれる必要がある。
• この授業では指数を学ぶ：底を乗じているべき乗。

数学的構造を選択する

• 同じ正の底の場合、掛け算は指数を加え、割り算は指数を引く。負の指数は逆数を表し、分数の指数は根を表す。標準形は1≤a<10である。
• 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。

確認済みの例 explored を通す

• 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。

例：

0.000072=7.2×10^(-5)。また 16^(3/4)=(16^(1/4))^3=2^3=8。√72=6√2 に単純化し、 $1/\sqrt{2}$=√2/2 の分母を有理化せよ。

誘惑的な shorthand をテストする

• 指数法則は和を単一のべき乗に変換しない: 2^3+2^4=24 であり、2^7 ではない。正確な答えが求められている場合、累乗根を丸めてはならない。
• 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。

警告：

すべての正のaについて、a^2+a^3 は a^5 に等しい。この主張は誤りである。どの定義または仮定に違反しているかを説明せよ。

新しい状況解釈する

• 10のべき乗が元の数量と一致するか確認する。正確な幾何学には累乗根を使用し、問題が小数での回答を求めている場合にのみ最終的な長さを丸めること。
• 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。

課程でこの手法を用いる

• Current first-assessment-2021 Analysis and Approaches HL. これは著者概念支援であり、すべての目標を認定するには完全なガイドが必要です。
• 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。

重要：

底を乗じているべき乗。関係性を選び、手法を示し、仮定をチェックし、結果を解釈せよ。

その変化は加算か乗算か？

• 貯蓄計画では毎週¥30が追加され、人口モデルでは毎年5%増加します。等しい差分と等しい比には、異なるモデルが必要です。
• この授業では公比を学びます：幾何数列における連続する項間の一定の倍率です。

数学的構造を選択する

• 等差数列については、u_n=a+(n-1)d および S_n=n(2a+(n-1)d)/2 です。等比数列については、u_n=ar^(n-1) および S_n=a(1-r^n)/(1-r) です。無限等比級数が収束するのは |r|<1 の場合のみです。
• 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。

確認済みの例 explored を通す

• 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。

例：

a=5, d=3, n=8 のとき、u_8=5+7×3=26 であり、S_8=8(10+21)/2=124 です。a=12, r=1/2 のとき、無限和 S=12/(1-1/2)=24 です。u_(n+1)=2u_n+1 で u_1=1 の場合、次の項は 3,7,15 です。

誘惑的な shorthand をテストする

• 初項の添字は 1 であるため、指数は n-1 となります。数列はリスト、級数は和です。等比数列は符号が交互であっても収束することがあります。
• 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。

警告：

すべての幾何級数は、無限和として有限の値を持ちます。この主張は誤りです。どの定義や仮定を違反しているかを説明してください。

新しい状況解釈する

• 文脈が加法的変化か乗法的変化を正当化しているかを説明してください。金融においては、単一の預入金と複数の預入金の流れを区別して、和の公式を選ぶ必要があります。
• 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。

課程でこの手法を用いる

• Current first-assessment-2021 Analysis and Approaches HL. これは著者概念支援であり、すべての目標を認定するには完全なガイドが必要です。
• 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。

重要：

幾何数列における連続する項間の一定の倍率です。関係性を選び、手法を示し、仮定を確認し、結果を解釈してください。

元の価格を取り戻せるか？

• コートが 20% 引きで ¥240 になります。割引は販売価格ではなく、元の価格に適用されます。
• この授業では乗数を学びます。単一の乗算で百分率の変化を行う因数です。

数学的構造を選択する

• p% の増減には乗数が 1+p/100；減少の場合、乗数は 1-p/100 です。百分率の逆算には、乗数で割ります。比においては、まず部分の総数を求めます。
• 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。

確認済みの例 explored を通す

• 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。

例：

元の価格を P とします。モデルは 販売価格=0.8P です。したがって P=240/0.8=300 です。その後の 20% の増減により 240×1.2=288 となり、二つの変動は相殺されません。

誘惑的な shorthand をテストする

• 百分率は指定された基準を用います。百分率を引くことにより、その基準が失われます。複合的な変化については、百分率を加算するのではなく、乗数を掛け合わせます。
• 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。

警告：

20% の減価 followed by a 20% の増価で始点の価格に戻るという主張は誤りです。どの定義または仮定に違反しているかを説明してください。

新しい状況解釈する

• 直接比例には y=kx；反比例には y=k/x を用います。新しい値を使う前に、既知のペアから k を計算します。何を保ったかを明記してください。
• 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。

課程でこの手法を用いる

• Current first-assessment-2021 Analysis and Approaches HL. これは著者概念支援であり、すべての目標を認定するには完全なガイドが必要です。
• 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。

重要：

単一の乗算で百分率の変化を行う因数です。関係性を選び、手法を示し、仮定を確認し、結果を解釈してください。

根が実数でない場合は？

• 方程式 x²+1=0 は実数解を持たない。数の系を拡張することで、両方の根を表し計算することが可能になる。
• この授業では共役複素数を学習します。虚部の符号を反転して得られる数のことです。

数学的構造を選択する

• i²=-1と置いたとき、z=a+bi と表せます。その共役数は a-bi であり、z とその共役数の積は a²+b² です。絶対値（モジュラス）は √(a²+b²) で、偏角は正しい象限を選ぶ必要があります。実係数の多項式では、共役な解が対になって現れます。
• 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。

確認済みの例 explored を通す

• 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。

例：

z=3+4i のとき、|z|=5 であり、zの共役复素数は3-4i である。逆数は (3-4i)/25 である。x²-6x+13=0 の解は 3±2i である。共役复素数との積をとることで、複素分母を実数にする。

誘惑的な shorthand をテストする

• 和の平方根は平方根の和とは限りません。単なる逆正接関数だけでは、誤った象限を返すことがあります。絶対値（モジュラス）と絶対値の二乗を混同しないでください。
• 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。

警告：

a+bi について、その絶対値は常に a+b であるという主張は誤りである。どの定義や仮定に違反しているかを説明せよ。

新しい状況解釈する

• 実軸を水平に、虚軸を垂直に描きます。積については、絶対値は掛け合わせられ、偏角は足し算されます。デ・モワールの定理によって、この幾何学的なパターンは冪の計算にも拡張されます。
• 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。

課程でこの手法を用いる

• Current first-assessment-2021 Analysis and Approaches HL. これは著者概念支援であり、すべての目標を認定するには完全なガイドが必要です。
• 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。

重要：

虚部符号を反転させた数である。関係を選び、手順を示し、仮定を確認し、結果を解釈せよ。

小さな変化は冪にどう影響するか？

• 微小の変化が量のべき乗に影響を与える。展開式によって、一次および二次の項の大きさを示すことができる。
• この授業では二項係数を学ぶ：有限個の要素から特定の数の対象を選ぶ組み合わせの数である。

数学的構造を選択する

• n が正の整数の場合、(a+b)^n は有限の二項展開となる。n が非整数の場合、(1+x)^n を 1+nx+n(n-1)x²/2+... と展開し、|x|<1とする。この形を用いる前に定数を括り出すこと。
• 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。

確認済みの例 explored を通す

• 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。

例：

(1+2x)^5=1+10x+40x²+80x³+80x⁴+32x⁵。 (1+x)^(-1 の場合、最初の3項は 1-x+x² であり、x=0.1 のとき、近似値は 0.91 となるが、正確な値 1/1.1≈0.909091 と異なる。

誘惑的な shorthand をテストする

• 2x に関する展開において、無限級数が成立するには |2x|<1 が必要であり、単に |x|<1 であるだけでは不十分です。正整数に関する展開は有限であり、そのような収束条件はありません。
• 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。

警告：

すべての二項展開は、正の整数でない冪を含めて有限多項式である。この主張は誤りである。どの定義または仮定に違反しているかを説明せよ。

新しい状況解釈する

• 近似式 alongside 有効性の範囲を明記する。指定された精度を支える十分な項を残し、係数と x を含む項全体を区別せよ。
• 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。

課程でこの手法を用いる

• Current first-assessment-2021 Analysis and Approaches HL. これは著者概念支援であり、すべての目標を認定するには完全なガイドが必要です。
• 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。

重要：

有限個の要素から特定の数の対象を選ぶ組み合わせの数。関係性を選び、手法を示し、仮定を確認し、結果を解釈せよ。

多項式で指数関数を近傍で代用できるか？

• 既知の点の近くでは、複雑な関数を多項式の近似で置き換えることができる。近似には中心と有効なスケールが必要である。
• この授業ではテイラー多項式を学ぶ：選んだ中心における関数の導関数から構成される多項式である。

数学的構造を選択する

• x=a について、展開が有効なとき、f(x)=f(a)+f prime(a)(x-a)+f double prime(a)(x-a)²/2!+... 。a=0 のとき、これはマクローリン展開である。有限和は、項の相殺や標準的な和の公式によって簡略化されることもある。
• 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。

確認済みの例 explored を通す

• 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。

例：

e^x の最初の3項は 1+x+x²/2 である。x=0.1 のとき、これは 1.105 となり、e^0.1≈1.105170 に近い。k=1 から 5 までの k² の和について、n(n+1)(2n+1)/6 は 5×6×11/6=55 を与える。

誘惑的な shorthand をテストする

• 階乗はすべてのテイラー係数の分母に位置する。展開の中心が常にゼロとは限らない。中心に近い近似でも、遠方では精度が低下することがある。
• 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。

警告：

テイラー多項式は、すべての入力に対して元の関数と常に一致する。この主張は誤りである。どの定義または仮定に違反しているかを説明せよ。

新しい状況解釈する

• 逆算級数（テレスコーピング級数）については、いくつかの項を書き出し、残る両端の項を特定せよ。テイラー近似については、その次数を明記し、必要に応じて既知の値や余りの推定値と比較せよ。
• 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。

課程でこの手法を用いる

• Current first-assessment-2021 Analysis and Approaches HL. これは著者概念支援であり、すべての目標を認定するには完全なガイドが必要です。
• 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。

重要：

選択した中心点における関数の微分から作られる多項式。関係式を選び、手法を示し、その前提条件を確認して結果を解釈せよ。

支援HLの焦点。最初の評価 2021；現在 2028。最初の評価-2029 コースは別枠である。残りのガイド、評価、実務要件は登録された保留事項のままとする。

前提条件：指定された数量と単位を読み取り、算術を使用し、以下のモデル条件に従う。各授業は独立した転移前に独自の方法を発展させる。

これらは元々または明示的に架空の教学例であり、実際の測定値や完了した評価対象学習者調査ではない。

どの入力が許容されるか？

• 平方根モデルは、特定の入力に対してのみ実数の出力を返します。単なる式だけでは完全な関数を指定できません。
• この授業では定義域を学びます：関数への入力の許容集合です。

数学的構造を選択する

• 定義域と値域を述べてください。逆関数の場合、まず定義域上で関数が一対一であることを確認する必要があります。合成 fg は、まず g を適用し、次に f を適用することを意味します。中間の出力は f に対する許容された入力である必要があります。
• 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。

確認済みの例 explored を通す

• 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。

例：

f(x)=√(x-2) において、x≥2 で値域は y≥0 です。y=√(x-2) より、x=y²+2 となります。したがって f inverse(x)=x²+2 （ただし x≥0）です。g(x)=x+3 について、fg(1)=f(4)=√2 です。

誘惑的な shorthand をテストする

• 二乗运算は余分な解を導入することがあります。逆関数を主張する前に、放物線の定義域を制限することは不可欠です。f 内部の水平移動は、グラフの移動方向とは逆向きの符号を持ちます。
• 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。

警告：

すべての実数全体での二次関数は逆関数を持ちます。この主張は誤りです。どの定義や仮定に違反しているかを説明してください。

新しい状況解釈する

• 逆関数の定義域において f(f⁻¹(x))=x を確認する。スケッチを用いて、水平線が元のグラフを一度以上交差しないか検証する。
• 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。

課程でこの手法を用いる

• Current first-assessment-2021 Analysis and Approaches HL. これは著者概念支援であり、すべての目標を認定するには完全なガイドが必要です。
• 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。

重要：

関数に許容される入力の集合。関係性を選び、手法を示し、仮定を確認し、結果を解釈せよ。

なぜ減衰モデルは正の値を保つのか？

• 薬物の濃度は毎時同じ割合で減少します。一定量の引き算では、最終的に負の値が予測されてしまいます。
• この授業では**半減期（ハルフライフ）**を学びます：減衰する量が初期値の半分になるまでの時間です。

数学的構造を選択する

• y=Ae^(kt) において、k は比例定数です。両辺の対数をとると ln y=ln A+kt となります。対数関数は正の引数にのみ定義され、log(x+y) が log x + log y と等しいわけではありません。
• 計算する前に許容される入力と単位を明記すること。数式は単なる電卓の入力記録ではなく、関係性を表すべきである。

確認済みの例 explored を通す

• 結果を初期の数量と比較して確認する。適切な場合、元の関係式に代入するか、グラフと数値解答を比較する。

例：

y=80e^(-0.2t) であり、y=40 のとき e^(-0.2t)=1/2 となります。したがって t=ln2/0.2≈3.466 です。3^x=20 に対しては、x=ln20/ln3 です。ln y を t に対してプロットすると、この指数関数モデルは直線化されます。

誘惑的な shorthand をテストする

• 適合された指数関数はモデルに過ぎず、保証ではありません。使用時の時間単位と適用範囲を明記してください。負の k は減衰を表し、負の初期値は通常、文脈と矛盾します。
• 近道が機能しない場合は、それが破られる仮定を特定すること。要求された最終的な四捨五入まで正確な値を維持すること。

警告：

正の x と y について、ln(x+y)=ln x+ln y です。この主張は誤りです。どの定義や仮定に違反しているかを説明してください。

新しい状況解釈する

• 実際の観測値とモデルを比較します。系統的な乖離は、条件の変化を示唆している可能性があります。レポートでは、単なる数式を提示するだけでなく、その減少率や初期値が何を意味するかを説明すべきです。
• 完全な解答は数学的な結果を示し、その意味を説明する。指定された文脈内で可能であることを確認すること。

課程でこの手法を用いる

• Current first-assessment-2021 Analysis and Approaches HL. これは著者概念支援であり、すべての目標を認定するには完全なガイドが必要です。
• 最終的な答えの前に手法を示し、試験用紙の電卓および数式ルールを使用すること。誤答については、最初に無効となったステップを特定して見直すこと。

重要：

減衰する量が初期値の半分になるまでの時間です。関係式を選び、解法を示し、仮定を検証して結果を解釈してください。

Supported HL focus. First assessment 2021; current through 2028. First-assessment-2029 course is separate.. Remaining guide, assessment and practical requirements retain their recorded holds.

Prerequisites: read the stated quantities and units, use arithmetic and the model conditions below. Each lesson develops its own method before independent transfer.

These are original or explicitly fictional teaching examples, not actual measurements or completed assessed learner investigations.

Does volume scale like length?

• A model has lengths one third of the real object. How much smaller are its area and volume?
• This lesson studies scale factor 相似比: The multiplier that relates corresponding lengths in similar shapes.

Choose the mathematical structure

• For similar shapes with length scale factor k, areas scale by k² and volumes by k³. State angle reasons explicitly. A circle's tangent is perpendicular to the radius at the contact point.
• State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.

Work through a checked case

• Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.

Example:

If model-to-real length factor is 3, a model area of 12 cm² gives 12×3²=108 cm² and a model volume of 8 cm³ gives 8×3³=216 cm³. A cylinder with r=3,h=5 has volume πr²h=45π.

Test a tempting shortcut

• Equal angles alone establish similarity, not equal size. Use corresponding lengths in the same order. Convert linear units before calculating area or volume, or square/cube the conversion factor correctly.
• When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.

Warn:

Doubling every length of a solid doubles its volume. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.

Interpret a new situation

• A geometric proof should name the relevant theorem, identify the equal angle or ratio, and draw the conclusion. A scale drawing is evidence only when the task permits measurement.
• A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.

Use this in your course

• Current first-assessment-2021 Analysis and Approaches HL. This is authored concept support; the full guide is needed to certify every objective.
• Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.

Key:

The multiplier that relates corresponding lengths in similar shapes. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.

Which side does the ladder need?

• A ladder reaches a height of 4 m while its foot is 3 m from a wall. Which sides are known, and which angle do we need?
• This lesson studies hypotenuse 斜边: The side opposite the right angle in a right-angled triangle.

Choose the mathematical structure

• In a right triangle a²+b²=c²; sinθ=opposite/hypotenuse, cosθ=adjacent/hypotenuse and tanθ=opposite/adjacent. For other triangles, use the sine or cosine rule, or area=ab sin C/2.
• State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.

Work through a checked case

• Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.

Example:

The ladder length is c=√(3²+4²)=5 m. Its angle to the ground satisfies tanθ=4/3, so θ≈53.1°. With two sides 6 and 8 enclosing 60°, c²=6²+8²-2×6×8 cos60°=52.

Test a tempting shortcut

• Label sides relative to the chosen angle. Pythagoras needs a right angle. A calculator angle mode error can produce a plausible but wrong result. Keep unrounded values for later steps.
• When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.

Warn:

Pythagoras applies to every triangle, including triangles without a right angle. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.

Interpret a new situation

• Use a plan or elevation for a three-dimensional problem before applying a triangle rule. Explain why the chosen triangle contains the required length or angle.
• A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.

Use this in your course

• Current first-assessment-2021 Analysis and Approaches HL. This is authored concept support; the full guide is needed to certify every objective.
• Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.

Key:

The side opposite the right angle in a right-angled triangle. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.

How far does the rim travel?

• A rotating wheel sweeps an arc. Radians let its angle connect directly to the distance travelled along the rim.
• This lesson studies radian 弧度: The angle subtended by an arc whose length equals the radius.

Choose the mathematical structure

• For θ in radians, arc length s=rθ and sector area A=r²θ/2. Use sin²θ+cos²θ=1 and angle identities to simplify or solve. List every solution in the stated interval.
• State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.

Work through a checked case

• Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.

Example:

For r=4 and θ=π/3, s=4π/3 and A=8π/3. Solving sin x=1/2 on 0≤x<2π gives x=π/6 and 5π/6. For sin2x=1/2, solve first on 0≤2x<4π before dividing by 2.

Test a tempting shortcut

• A calculator's inverse sine gives one principal value. It does not give every solution. Dividing by sin x can discard solutions where sin x=0; check that case first.
• When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.

Warn:

The principal inverse sine value is always the only solution in a full turn. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.

Interpret a new situation

• Choose an identity that reduces the equation to one trigonometric function. Keep exact familiar angles where possible, and check each solution against the original equation.
• A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.

Use this in your course

• Current first-assessment-2021 Analysis and Approaches HL. This is authored concept support; the full guide is needed to certify every objective.
• Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.

Key:

The angle subtended by an arc whose length equals the radius. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.

Why is displacement shorter than the walk?

• Walking 4 m east and 3 m north gives a displacement of 5 m, even though the travelled distance is 7 m.
• This lesson studies resultant 合向量: The vector sum representing the combined displacement or force.

Choose the mathematical structure

• Add corresponding vector components. A displacement from A to B is OB-OA. Parallel vectors are scalar multiples. A vector has magnitude and direction; a distance is a scalar.
• State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.

Work through a checked case

• Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.

Example:

With a=(4,1) and b=(1,3), a+b=(5,4). Their scalar product is a·b=4×1+1×3=7. The magnitude of a is √17. For A=(1,2), B=(5,5), AB=(4,3) and |AB|=5.

Test a tempting shortcut

• The order of subtraction matters: BA=-AB. Proving parallelism needs a scalar-multiple relation; a sketch alone is insufficient. Negative enlargement reverses position about its centre.
• When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.

Warn:

AB and BA always have the same components. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.

Interpret a new situation

• For a translation, every point uses the same displacement. For advanced line problems, distinguish the position vector from a direction vector and solve parameter equations consistently.
• A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.

Use this in your course

• Current first-assessment-2021 Analysis and Approaches HL. This is authored concept support; the full guide is needed to certify every objective.
• Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.

Key:

The vector sum representing the combined displacement or force. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.

Supported HL focus. First assessment 2021; current through 2028. First-assessment-2029 course is separate.. Remaining guide, assessment and practical requirements retain their recorded holds.

Prerequisites: read the stated quantities and units, use arithmetic and the model conditions below. Each lesson develops its own method before independent transfer.

These are original or explicitly fictional teaching examples, not actual measurements or completed assessed learner investigations.

Can one average tell the whole story?

• Two groups have the same median but different spread. One summary cannot describe both location and consistency.
• This lesson studies frequency density 频率密度: Frequency divided by class width, used as histogram height.

Choose the mathematical structure

• Compare an appropriate average and spread in context. A histogram uses area for frequency, so height=frequency/class width. Grouped estimates assume representative values within intervals.
• State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.

Work through a checked case

• Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.

Example:

A class from 10 to 20 with frequency 30 has density 30/10=3. A class from 20 to 40 with frequency 20 has density 20/20=1. Its wider bar must not be mistaken for a larger density. For values 2,4,4,6,9, the median is 4 and mean is 5.

Test a tempting shortcut

• The tallest histogram bar need not contain the most observations. A grouped mean is an estimate. Correlation does not prove causation, and extrapolation extends beyond the observed range.
• When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.

Warn:

A histogram bar's height always equals its frequency, even with unequal class widths. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.

Interpret a new situation

• Choose a display that fits the data type. Give both a numerical comparison and what it means for the population; do not infer more precision than the sample supports.
• A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.

Use this in your course

• Current first-assessment-2021 Analysis and Approaches HL. This is authored concept support; the full guide is needed to certify every objective.
• Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.

Key:

Frequency divided by class width, used as histogram height. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.

What changes after the first draw?

• A bag has 3 red and 2 blue counters. Taking two without replacement changes the chance of the second colour.
• This lesson studies conditional probability 条件概率: The probability of an event after restricting the sample space to a stated condition.

Choose the mathematical structure

• Multiply along a tree branch and add disjoint branches. With replacement, the composition stays fixed. Conditional probability is P(A given B)=P(A∩B)/P(B), for P(B)>0.
• State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.

Work through a checked case

• Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.

Example:

Without replacement, P(two red)=3/5×2/4=3/10. P(one of each)=3/5×2/4+2/5×3/4=3/5. If P(A∩B)=0.12 and P(B)=0.3, P(A given B)=0.4.

Test a tempting shortcut

• Mutually exclusive means no overlap; independent means that knowing one event does not change the other's probability. Two disjoint events with positive probability are not independent.
• When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.

Warn:

Mutually exclusive events with positive probabilities must be independent. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.

Interpret a new situation

• A two-way table makes the restricted denominator visible. Before using a product P(A)P(B), justify independence from the context or the supplied information.
• A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.

Use this in your course

• Current first-assessment-2021 Analysis and Approaches HL. This is authored concept support; the full guide is needed to certify every objective.
• Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.

Key:

The probability of an event after restricting the sample space to a stated condition. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.

What makes a count predictable?

• A quality inspector counts defective items. The number is random, but a model can describe its likely range.
• This lesson studies expected value 期望值: The probability-weighted mean of a random variable.

Choose the mathematical structure

• A binomial model needs fixed n, independent trials, two outcomes and constant p. E(X)=np and Var(X)=np(1-p). For a normal model use z=(x-μ)/σ. A Poisson model describes counts with a constant rate and appropriate independence assumptions.
• State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.

Work through a checked case

• Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.

Example:

For X binomial(5,0.2), P(X=0)=0.8^5=0.32768, E(X)=1 and Var(X)=0.8. For a normal quantity with μ=100,σ=15, the value 130 has z=2. A Poisson mean of 3 per hour gives mean 6 over two hours.

Test a tempting shortcut

• Not every count is binomial: changing p or dependence can invalidate it. For a continuous variable, the probability of one exact value is zero. Continuity correction matters when approximating a discrete distribution by a normal one.
• When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.

Warn:

Every count of successes has a binomial distribution regardless of dependence. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.

Interpret a new situation

• Write the event as an inequality before using calculator distribution functions. Distinguish P(X<k), P(X≤k) and a tail complement. State assumptions in context.
• A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.

Use this in your course

• Current first-assessment-2021 Analysis and Approaches HL. This is authored concept support; the full guide is needed to certify every objective.
• Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.

Key:

The probability-weighted mean of a random variable. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.

Supported HL focus. First assessment 2021; current through 2028. First-assessment-2029 course is separate.. Remaining guide, assessment and practical requirements retain their recorded holds.

Prerequisites: read the stated quantities and units, use arithmetic and the model conditions below. Each lesson develops its own method before independent transfer.

These are original or explicitly fictional teaching examples, not actual measurements or completed assessed learner investigations.

What is the slope at one point?

• A curved road has different slopes at different positions. An average gradient cannot describe every point.
• This lesson studies derivative 导数: The instantaneous rate of change, also the gradient of a tangent.

Choose the mathematical structure

• For y=ax^n, dy/dx=anx^(n-1). A stationary point satisfies dy/dx=0. Check the sign change of the derivative, or the second derivative when it is nonzero, to classify it.
• State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.

Work through a checked case

• Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.

Example:

For y=x³-3x, dy/dx=3x²-3. At x=1, the gradient is 0 and y=-2. The second derivative is 6x, positive at x=1, so this is a local minimum. At x=-1, y=2 and the second derivative is negative, giving a local maximum.

Test a tempting shortcut

• A zero derivative does not always mean a maximum or minimum: y=x³ is stationary at 0 but continues increasing. An endpoint can also produce an extreme value on a restricted domain.
• When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.

Warn:

Every point with zero derivative is a local maximum or minimum. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.

Interpret a new situation

• At GCSE/IGCSE use only the polynomial scope allowed by the tier; do not add chain, product or quotient rules there. At advanced level, connect the derivative to rates and optimization with a valid domain.
• A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.

Use this in your course

• Current first-assessment-2021 Analysis and Approaches HL. This is authored concept support; the full guide is needed to certify every objective.
• Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.

Key:

The instantaneous rate of change, also the gradient of a tangent. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.

How much change has accumulated?

• A velocity graph tells us motion at an instant. How can we recover the displacement accumulated over time?
• This lesson studies antiderivative 原函数: A function whose derivative equals the given integrand.

Choose the mathematical structure

• For n≠-1, the integral of ax^n is ax^(n+1)/(n+1)+C. A definite integral is signed accumulation. Split at sign changes when total area or distance is required.
• State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.

Work through a checked case

• Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.

Example:

For v(t)=3t²-3 over 0≤t≤2, displacement=[t³-3t]_0^2=2. Since v changes sign at t=1, distance=-[t³-3t]_0^1+[t³-3t]_1^2=2+4=6. The constants cancel only for a definite integral.

Test a tempting shortcut

• The integral of 1/x is ln|x|+C, not the power rule with n=-1. Signed area can be zero even when the total enclosed area is positive.
• When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.

Warn:

A definite integral always equals the total positive area, even when the graph crosses the axis. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.

Interpret a new situation

• Identify what the integral means and include the correct units. A rate measured per second integrates to the underlying quantity, not to another rate. Differentiate an antiderivative to check it.
• A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.

Use this in your course

• Current first-assessment-2021 Analysis and Approaches HL. This is authored concept support; the full guide is needed to certify every objective.
• Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.

Key:

A function whose derivative equals the given integrand. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.

Does the inside expression change too?

• A cost curve is a power of a changing expression. Differentiating the outer power alone misses the rate of its input.
• This lesson studies chain rule 链式法则: The rule that multiplies the outer derivative by the inner derivative for a composite function.

Choose the mathematical structure

• For y=f(g(x)), y prime=f prime(g(x))g prime(x). For uv, differentiate to u prime v+uv prime. For u/v, use (u prime v-uv prime)/v², where v≠0.
• State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.

Work through a checked case

• Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.

Example:

For y=(3x+1)^4, y prime=4(3x+1)^3×3=12(3x+1)^3. At x=0, the gradient is 12. For x²+y²=25, differentiate implicitly: 2x+2y y prime=0, so y prime=-x/y when y≠0.

Test a tempting shortcut

• A derivative of a product is not the product of the derivatives. In implicit differentiation, every differentiated function of y brings a dy/dx factor. A quotient's denominator is squared.
• When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.

Warn:

The derivative of u(x)v(x) is always u prime times v prime. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.

Interpret a new situation

• Choose a useful form before differentiating: expanding a short polynomial may be simpler. For related rates, write the relation in symbols, differentiate with respect to time, then substitute measured values.
• A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.

Use this in your course

• Current first-assessment-2021 Analysis and Approaches HL. This is authored concept support; the full guide is needed to certify every objective.
• Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.

Key:

The rule that multiplies the outer derivative by the inner derivative for a composite function. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.

Can we integrate the two factors separately?

• A simple-looking product such as xe^x cannot be integrated by separately integrating each factor.
• This lesson studies integration by parts 分部积分法: An integration method based on the derivative of a product.

Choose the mathematical structure

• Use substitution when an inner derivative appears as a factor. By parts, integral u v prime =uv-integral u prime v. For a rational function, divide first if needed, then decompose into partial fractions.
• State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.

Work through a checked case

• Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.

Example:

For integral xe^x dx, take u=x and v prime=e^x. Then the integral is xe^x-e^x+C. For integral 2x/(x²+1) dx, substitute w=x²+1, dw=2x dx; the answer is ln(x²+1)+C.

Test a tempting shortcut

• Choosing u and v prime well matters: the remaining integral should become simpler. In a definite substitution, either change the limits or return to x before applying the original limits.
• When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.

Warn:

The integral of a product equals the product of its separate integrals. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.

Interpret a new situation

• Check by differentiating. For volumes of revolution around the x-axis use V=π integral y² dx; do not confuse the square of a function with the integral of the function.
• A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.

Use this in your course

• Current first-assessment-2021 Analysis and Approaches HL. This is authored concept support; the full guide is needed to certify every objective.
• Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.

Key:

An integration method based on the derivative of a product. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.

What does the starting value decide?

• A growing population's rate is proportional to its current size. The rate equation describes a whole family until an initial population is supplied.
• This lesson studies initial condition 初始条件: A specified value that selects a particular solution from a family.

Choose the mathematical structure

• For dy/dx=ky, separate variables: dy/y=k dx, giving y=Ae^(kx). Use an initial condition to find A. Euler's method takes y next=y+h f(x,y), with a chosen step h.
• State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.

Work through a checked case

• Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.

Example:

With dy/dx=0.5y and y(0)=2, y=2e^(0.5x). Euler with h=0.2 gives y(0.2)≈2+0.2×1=2.2 and y(0.4)≈2.2+0.2×1.1=2.42. The exact second value is about 2.4428.

Test a tempting shortcut

• An initial condition determines the integration constant; it is not a replacement for integrating. Dividing by y can omit an equilibrium solution y=0. Euler accuracy depends on step size and the equation.
• When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.

Warn:

Every step size gives exactly the same Euler approximation. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.

Interpret a new situation

• For second-order linear equations, combine the complementary function with an appropriate particular integral, then apply the required initial conditions. This is Further Pure scope; check the named unit.
• A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.

Use this in your course

• Current first-assessment-2021 Analysis and Approaches HL. This is authored concept support; the full guide is needed to certify every objective.
• Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.

Key:

A specified value that selects a particular solution from a family. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.

Supported HL focus. First assessment 2021; current through 2028. First-assessment-2029 course is separate.. Remaining guide, assessment and practical requirements retain their recorded holds.

Prerequisites: read the stated quantities and units, use arithmetic and the model conditions below. Each lesson develops its own method before independent transfer.

These are original or explicitly fictional teaching examples, not actual measurements or completed assessed learner investigations.

What makes an investigation mathematical?

• A student wants to predict queue waiting time at the school canteen. A useful exploration needs a question, data and mathematics the student can explain.
• This lesson studies assumption 假设: A condition adopted to make a mathematical model possible and whose effect should be evaluated.

Choose the mathematical structure

• Frame a focused question with measurable variables and a feasible method. Keep a dated record of decisions, sources and mathematical reasoning. Use technology to support analysis, and explain every important output in your own words.
• State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.

Work through a checked case

• Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.

Example:

A pilot records mean waiting times of 3,5,7 minutes when 10,20,30 people are ahead. A first model is t=1+0.2n. At n=25 it predicts 6 minutes. An actual wait of 8 gives residual 2; investigate varying service rates rather than hiding the mismatch.

Test a tempting shortcut

• Do not copy a sample exploration, invent data or manufacture personal engagement. A prediction is not evidence until it is compared with observations. Consent and privacy matter when collecting school data.
• When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.

Warn:

The school-supervised mathematical exploration can be replaced by a timed written mock exam. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.

Interpret a new situation

• The school supervises topic approval, checkpoints, authenticity and assessment. For the current 2021 course use the current school's guide and criteria; the 2029 inquiry criteria belong to a different assessment version.
• A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.

Use this in your course

• Current first-assessment-2021 Analysis and Approaches HL. This is authored concept support; the full guide is needed to certify every objective.
• Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.

Key:

A condition adopted to make a mathematical model possible and whose effect should be evaluated. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.