AH · Hamiltonian mechanics and astrophysical scaling

エネルギー手法はスプリング振動子と軌道を結びつけるが、座標系および物理的仮定は異なる。

前提知識: 26, 41。

• 簡単なハミルトニアンを構築する
• 正則方程式を用いる
• 重力および放射 Scaling を適用する

正準運動量は p=∂L/∂qdot で与えられる。ルジェンド変換 H=p qdot−L は、速度が座標と運動量を用いて表せる場合にハミルトニアンを与える。

ハミルトンの方程式は qdot=∂H/∂p および pdot=−∂H/∂q である。通常の振動子 H=p²/(2m)+kq²/2 に対してこれらはニュートンの方程式を復元する。

円軌道における重力の速度 v²=GM/r と周期 ²=4π²r³/(GM) がある。仮定としては中心質量の支配的寄与と円軌道の近似が含まれる。楕円軌道ではケプラーの法則に半長軸を用いる。質量 m の円軌道上の衛星について、角運動量の大きさは mrv=m sqrt(GMr) であり、同種の衛星については L sqrt(r) となる。半径比 9 が角運動量比 3 をもたらし、周期比は 27 となる。この違いは同じ遠心力関係式から導かれるため、角運動量に対して周期のスケールを使用してはいけない。

光度と受光フラックスは F=L/(4πd²) （等方性放射）に従う。黒体は L=4πR²σT⁴ を持ち、スペクトルのピークは温度に反比例してシフトする。内因的な光度と観測された明るさを区別せよ。

正則なラグランジアン $L=m\dot q^2/2-kq^2/2$ において、正準運動量は

ルジェンド変換に速度を代入する： これらを組み合わせると $\ddot q=-(k/m)q$ が得られる。運動量からの速度への逆変換 が必要であり、すべての拘束または特異なラグランジアンについて成立するとは限らない。

ハミルトニアンは、関連する系に関する仮定が満たされる場合に限り全機械エネルギーに等しくなります。名前から普遍にこの性質を推論しないでください。

正準運動量: ラグランジアンを一般化速度で微分した値。

光度: 総放射電力であり、観測者におけるフラックスとは異なる。