QM · Quantum mechanics and atomic physics

箱の中の粒子はゼロの基底状態運動エネルギーを持つことはできない。その閉じ込めにより許容される状態が変わる。

前提知識: 24, 37, 38, 39。

• 波動関数、演算子、測定確率を用いる
• Solve standard bound-state models and tunnelling reasoning
• 角運動量、スピン、および原子スペクトルの原理を適用する

状態の波動関数はモデルの境界条件を満たさなければならず、全確率が1である必要がある：許容領域で |ψ(x)|² を積分する。直交正規化された状態 φ_j に対する重ね合わせ ψ=Σc_jφ_j のノルム二乗は Σ|c_j|² であり、交互項の積分がゼロになるためである。したがって、N個の直交正規化された状態の等しい重ね合わせでは、係数の絶対値は 1/sqrt(N) となる。構成要素のエネルギーを見つける確率は c_j ではなく |c_j|² である。相対位相はエネルギー確率が変化しない場合でも位置確率に影響を与えることがある。

観測量はヘルミット演算子で表される。固有値は実数であり、正規化された状態における期待値は ⟨A⟩=∫ψ* Aψ dx で与えられる。期待値は反復準備における平均であり、必ずしも単一の測定の結果ではない。Aが多項式恒等式を満たす場合、固有状態に適用できる：A⁴=I である場合、実数固有値は +1 または −1 でなければならない。多項式の解であっても、ヘルミット性によって複素四乗根は除外される。

For an infinite well 0<x<L, ψ(0)=ψ(L)=0 allows sine modes sin(nπx/L), with n=1,2,… . Their energies are E_n=n²π²$\hbar$²/(2mL²), so the ground state is not zero and doubling L divides every energy by four. The equivalent h expression is n²h²/(8mL²); never substitute h for $\hbar$ without its 2π factor. A finite barrier instead permits exponential tails, and a travelling wave in a classically allowed region has oscillatory rather than exponentially decaying spatial dependence.

演算子は [A,B]=AB−BA=0 が成立する場合に可換であり、互換的な観測量は共通固有基底を持つことができる。運動エネルギー p²/(2m) はpの関数であるため、pと可換である。位置に依存するポテンシャルは一般的に、H=p²/(2m)+V(x) がpと可換でないことを意味する。角運動量は [J_x,J_y]=i$\hbar$J_z および循環置換に従い、J² は各成分と可換である。原子遷移では、レベル差に等しい正の光子エネルギーが交換され、角運動量およびメカニズム固有の選択則により、どの遷移が起こるかが制限される。

無限井戸は 0 から L まで伸びている。両端での波動関数の消滅により

$\psi=(\psi_1+i\psi_2)/\sqrt2$ を準備する。直交性はそのノルムを1にする。 エネルギー測定は E1 または 4E1 と等しい確率で与える： この平均は許容される単一のエネルギー結果ではない。相対位相は時間とともに変化する。 したがって、異なるエネルギーの重ね合わせは定常状態ではない。

定常状態は、その確率密度が時間非依存であっても、ゼロでないエネルギーを持つことができる。

正規化: 全確率を1にすること。

演算子: 観測量を表す数学的作用。