MM.1 · Coordinate operators, separated modes and stable updates

半径関数のラプラス行列 f″ を書く際に項が省略される；この演算子は座標系に属しており、記号自体ではない。

前提知識：代数、微分法、ベクトル成分。

• 対称性によって選択された座標系における発散とラプラシアンを用いる
• 単純な分離境界値問題のモードを解く
• オリジナルの数値更新の収束、単位、安定性を確認する

演算子を記述する前に、対称性によって座標系を選択せよ。球面座標における半径方向関数 f に対して ∇²f=f″+(2/r)f′ であり、半径方向場 A=A_r r̂ の発散は (1/r²)d(r²A_r)/dr で与えられる。確認：A=k r̂/r² の発散は (1/r²)dk/dr=0 となり、原点以外ではゼロである。また、f=1/r は ∇²f=f″+2f′/r=2/r³−2/r³=0 を満たし、原点以外ではゼロとなる。デカルト座標の形式はデカルト座標依存のみに適用される。

変数分離法は境界値問題を常微分方程式のモードに変換する。両端が固定された弦に対して u=X(x)T(t) とおくと、波動方程式より X″/X=(1/c²)T″/T=−k² となる。両端固定条件より X=sin(nπx/L) が得られ、許容される周波数は ω_n=nπc/L, f_n=nc/(2L) である。モードの和を取る前に、各モードが境界条件を満たす必要がある。

An explicit Euler update for y′=−λy is y_{n+1}=(1−λh)y_n, bounded when |1−λh|≤1, i.e. 0<h≤2/λ for λ>0; asymptotic decay needs 0<h<2/λ. With λ=10 /s, h must not exceed 0.2 s; h=0.25 s multiplies by −1.5 each step and diverges with alternating sign. Stability is a property of the recurrence, not of the true solution.

Check a numerical answer three ways before trusting it: units of every term (λh must be dimensionless), convergence under refinement (halve h and compare; explicit Euler error is first order), and a limiting case with a known exact answer. For y′=−4y with y0=8 and h=0.2, five steps give 8×0.2⁵=0.00256 versus exact 8e^(−4)≈0.1465: stable but inaccurate, so refine.

球面半径方向場の発散

$A_r=Cr$ に対して、C ではなく ⟨3⟩C を与える。両端固定条件には $X(0)=X(L)=0$ が必要である。 したがって $X_n=\sin(n\pi x/L)$ （n は正の整数）。 $\dot y=-\lambda y$ に対するオイラー法により $y_{n+1}=(1-\lambda h)y_n$ が得られる。 正の h において、有界絶対安定性は $h\leq2/\lambda$ を許容する。 零への減衰には厳密な不等式 $0<h<2/\lambda$ が必要である。 上限端点において数値解は減衰せず振動する。安定性は正確さを保証しない。

対称性によって選択された座標系での発散とラプラシアンを用いる。境界条件に反するモードを足し合わせたり、微細化せずに安定して見える実行結果を収束とみなしたりしない。演算子、境界条件、安定条件を実際の問題に合わせる。

変数分離法：未知関数を単一変数の因子の积として表すことで、偏微分方程式を解く手法。

安定性条件：数値再帰式が誤差を増幅させないためのステップサイズ制限。