SN.2 · Bragg diffraction and electron-gas heat capacity

結晶をX線ビーム中で回転させることで原子面をマッピングできる。構成反射が離散的な角度でのみ生じるためである。

Prerequisites: 8, 36.

• ブラッグ条件を適用して面間隔や回折角を求める
• 自由電子フェルミエネルギーおよびフェルミ温度を推定する
• 電子系および格子熱容量寄与を区別する

Bragg reflection from parallel planes spaced d interferes constructively when 2d sinθ=nλ, with θ measured from the plane surface (the glancing angle), not from the normal. First order n=1 gives the smallest angle. For λ=0.154 nm and a peak at θ=20°, d=0.154/(2 sin20°)≈0.225 nm. If 2d<λ no order exists; the sine must stay at or below 1.

立方晶において (hkl) 面の面間隔は d=a/sqrt(h²+k²+l²)（a は格子定数）、(110) 面は a/√2 を与える。したがって測定されたBragg角は格子定数を表す。基底による系統的欠落（例：体心格子で h+k+l が奇数の欠落）は、面間隔の公式を超えた構造情報を担う。

自由電子モデルでは、N個の伝導電子がフェルミ波数 k_F=(3π²n)^(1/3) の状態まで詰まり、数密度 n に対して E_F=$\hbar$²k_F²/(2m) となる。n=8.5×10²⁸ /m³ のとき、k_F≈1.36×10¹⁰ /m、E_F≈7.05 eV、T_F=E_F/k_B≈8.2×10⁴ K となる。T_F が室温より遥かに高いため、熱的に励起される電子の割合は T/T_F のオーダーに過ぎない。

したがって、金属には2つの低温熱容量項がある：温度Tに比例する電子項γTと、格子（ドバイ）項βT³である。C/TをT²に対してプロットすると、切片がγ、傾きがβとなる。室温付近では格子項がデュロン＝ペティの値に近づき支配的となるが、低温では崩壊するβT³格子項よりもγT電子項が勝る。

ブラッグ回折は、結晶面からの法線ではなく、結晶面からの角度 θ を用いる。

平面からではなく面法線方向にθを測定したり、全低温熱容量を電子に割り当てたりすること。正弦条件および2項分解がこれらの計算で失敗する点である。

ブラッグ条件: 結晶面からの反射が位相一致による増幅となるのは 2d sinθ=nλ のときであり、θ は結晶面から測定される。

フェルミエネルギー: 自由電子モデルにおける零度での最大占有電子エネルギー。