RA.2 · Simultaneity, length measurement and velocity transformation

二つの観測者は、二つの事象のうちどちらが先に起きたかについて意見が異なり、両方が正しい場合がある。

前提知識：22。

• 事象間の分離を変換し、固有長と同時な端点の読み取りを識別する
• 相対論的速度合成を適用し、4次元ベクトルの不変量を検証する
• 間隔の符号を分類して事象の順序付けを行い、因果的接触の可能性を排除する

宣言された座標系S'がSに対してx軸方向に速度+vで動いているとき、ローレンツ変換を用いて変換を行う：x′=γ(x−vt) および t′=γ(t−vx/c²)、ここで γ=1/sqrt(1−v²/c²)。この式は単一の座標だけでなく、事象の分離 Δx および Δt にも適用される。S で同時（Δt=0）だが異なる場所にある二つの事象について、Δt′=−γvΔx/c² となる。すなわち、+x 方向に遠い事象の方が S' では早く起こる。同時性は座標系に依存するものであり、記録ミスではない。

動く棒の長さは、同じ実験室時間（Δt=0）における端点の位置から読み取る必要がある。そのとき、Δx′=γΔx より L=L0/γ となり、L0 は静止系（固有）長である。棒の系で端点を同時に読み取ったとしても、これは実験室での長さにはならない。二つの読み取り条件は異なる質問に対する答えとなるため、どの長さを引用する前に必ず座標系と読み取り条件を明記すること。

間隔 s²=c²Δt²−Δx²（ mostly-minus 規格、一度宣言すれば定数）は不変量である。s²>0 の場合、時刻的であり、事象が同一地点にある座標系が存在し、Δτ=s/c がその間の固有時間となる。s²<0 is spacelike: a frame exists with the events simultaneous, and sqrt(−s²) is the proper distance. s²=0 is lightlike. Timelike order is the same in every frame; spacelike order can swap, and no signal can join the events because |Δx/Δt|>c の場合、空間的であり、事象が同時になる座標系が存在し、Δx′=s が固有距離となる。

同一直線上の速度は u=(u′+v)/(1+u′v/c²) で合成される。分母により u′, v < c であれば常に u < c が保たれ、u′=c ならば u=c となる。エネルギーと運動量は4次元ベクトルを形成し、不変量 E²−p²c²=m²c⁴ を持つ。任意の便利な座標系で計算し、非相対論的極限（合成則が u=u′+v に収束し、不変量が静止エネルギーに収束する）で各結果を検証すること。

二つの実験室事象について、Δx = 900 m、Δt = 2 ミクロ秒である。 これら时空間隔は空間的である。なぜなら、c Δt = 600 m が Δx よりも小さいからである。 これらを同時にする座標系において、

同時終点条件なしで L=L0/γ を引用する、あるいは相対論的速度で u=u′+v と速度を合成する。同時性の差は物理的なものであり、誤りではない。

時空間隔：指定された符号慣例に基づく不変量 c²Δt²−Δx² の組み合わせであり、その符号によって事象の分離を分類する。

固有長：物体の静止系で端点間の距離として測定される値；他のすべての座標系では、自身の時間の同期下で両端点を同時に読み取らなければならない。