AT.3 · Thermal spectra and one-electron scaling

スペクトルのピーク、全放射フラックス、および原子遷移エネルギーは、3つの異なる観測量である。

前提条件: 7, 9, 34。

• 波長スペクトルピーク、積分放射量、および光子エネルギーを区別する
• 単一電子仮定の下でボーア半径とエネルギーのスケーリングを導出する
• クーロン・イオン遷移、シリーズの極限値、および電離閾値を計算する

理想熱平衡放射に対して、プランクの波長スペクトル放射輝度は B_λ=2hc²/{λ⁵[exp(hc/(λk_B T))−1]} である。B_λ は波長間隔および立体角あたりの量であり、全出力ではない。黒体表面の半球方向フラックススペクトルは M_λ=πB_λ であり、全波長で積分すると σ_SB T⁴ となる。すべての温度は絶対ケルビンである。波長のピークは λ_max T≈2.898×10⁻³ m·K を満たす。周波数あたりのスペクトルは異なるピークを持つなぜなら、B_ν dν と B_λ dλ にはヤコビアンが含まれるからであり、c/λ_max は B_ν のピーク周波数ではない。T を増加させると波長ピークは短くなり、積分フラックスは T⁴ に比例して増加するが、ピーク位置の比 alone で増加するわけではない。

元の均質灰色面（面積 A、波長非依存放射率 ε）が広大な均質環境に放射する正味放射出力は、提示された見かけ因子の仮定のもとで εσ_SB A(T⁴−T_env⁴) である。σ_SB≈5.670×10⁻⁸ W·m⁻²·K⁻⁴ を用いる。スペクトルに依存する放射率や不完全な周囲環境については、より詳細なモデルが必要である。特定の波長の光子は E=hc/λ であり、 conveniently 約 1240 eV·nm/λ_nm である。熱スペクトルには多くの光子エネルギーが含まれており、波長ピークにある光子がすべての光子の平均エネルギーではないことに注意せよ。T=3000 K において、λ_max≈966 nm であり、その光子エネルギーは約 1.284 eV である。A=2×10⁻⁴ m² かつ ε=0.5 の表面は、無視できるほど冷たい環境へ 459.27 W を放射する。

歴史的なボーアの単一電子モデルにおいて、質量 Z の核（電荷 Ze）に対して、クーロン力 m_e v²/r=Ze²/(4πε₀r²) および角運動量 m_e vr=n$\hbar$ から、r_n=a₀n²/Z、v_n=Zαc/n、E_n≈−13.6Z²/n² eV が得られる。半径は n²/Z に比例し、結合エネルギーは Z²/n² に比例するが、両方同じ電荷のべき乗を用いてはならない。これらの円軌道の仮定は歴史的なスケーリングモデルである。波動力学における角運動量は √[l(l+1)]$\hbar$ であり、l=0,…,n−1 であるため、1s 軌道はボーアの n$\hbar$ 値ではなくゼロの軌道角運動量を持つ。換算質量補正では m_e を μ に置き換え、クーロン半径は 1/μ に、エネルギーは μ に比例する。多電子遮蔽、大Z相対論的補正、微細構造はこの単純なモデルの外側である。

ni→nf (ni>nf) での放射について、E_γ≈13.6Z²(1/nf²−1/ni²) eV である。この正の差を波長 λ≈1240/E_γ nm に変換せよ。nからの電離には連続体ゼロに達するために 13.6Z²/n² eV が必要である。吸収は能級順序を逆転させ、対応する正の入射光子エネルギーを必要とする。固定された nf で終わる系列において、最大の束縛-束縛光子エネルギーは ni→∞ として生じ、E_limit=13.6Z²/nf² となり、最短の系列波長となる。一電子ヘリウム Z=2 において、n=3→2 は 7.5556 eV かつ λ≈164.12 nm を与える。そのボーア半径 n=3 は 4.5a₀ であり、この半径は歴史的な軌道を記述するものであり、n=3 におけるあらゆる l に対する普遍的な半径モードではない。

ウィーン則とは、黒体スペクトルの波長密度ピークを指す。

その波長にある光子のエネルギーは 放射源は光子エネルギーの分布を放出している。その積分表面フラックスは $\sigma T^4$ であり、 周波数密度ピークは単にこのピーク波長を c で割ることで得られるわけではない。

波長または周波数の密度を定義し、第4乗項にはケルビンを用い、遷移と電離を区別すること。ボーアの円形半径や角運動量は、すべての波動関数軌道の半径やLとは一致しない。

スペクトル放射度：単位投影面積、単位立体角および指定された波長範囲あたりの放射強度。

系列極限：最終レベルが固定され、初期レベルが連続体に向かう際の限界結合-結合光子エネルギーまたは波長。