QM.4 · Finite-well bound states and hydrogenic quantum numbers

粒子のエネルギーが外部ポテンシャルより低いにもかかわらず、束縛波動関数は有限ポテンシャル井戸の外側に広がり得る。

前提知識: 5, 24, 37。

• 崩壊する有限深ポテンシャル井戸の束縛状態を対応させ、対称性依存の量子化条件を導く
• 無次元束縛状態根を解釈し、閉じ込めと散乱を区別する
• 水素原子型量子数、角運動量および半径確率分布を用いる

|x|<a and V=0 outside, with V₀>0でV=−V₀の対称井戸とし、全域で質量は一定とする。束縛エネルギーは−V₀から零の間に存在する。内部ではk=√[2m(E+V₀)]/$\hbar$により振動解が得られ、外部ではκ=√(−2mE)/$\hbar$により崩壊する尾が得られる。増大する指数関数を除外して正規化可能な状態を得る。反射対称性により、内部に偶関数cos(kx)または奇関数sin(kx)の状態が許容される。デルタ相互作用のない有限境界では、ψおよびψ′の両方が連続である。偶対称性による整合条件はk tan(ka)=κ、奇対称性による整合条件は−k cot(ka)=κである。有限深井戸は無限壁のように端でψをゼロにする必要はない。

z=kaおよびρ=a√(2mV₀)/$\hbar$を導入する。するとκa=√(ρ²−z²)となり、0<z<ρとなる。偶状態についてはz tan z=√(ρ²−z²)、奇状態については−z cot z=√(ρ²−z²)を、適切な符号を持つ区間かつ接線の極から離れた範囲で解く。エネルギーはE/V₀=z²/ρ²−1で与えられる。ρ=1の場合、基底状態の根は0<z<1に位置し、この区間では偶の方程式はz=cos zと等価である。二分法または収束した根探索によりz≈0.739085、E/V₀≈−0.453753が得られる。ρ<π/2であるため、奇の束縛状態分支は存在しない。一次元において、吸引力のある方形井戸はどのようなに浅くても偶の束縛基底状態を持ち、E=0の閾値における尾は二乗可積分ではない。

偶の束縛状態について、内部でψ=A cos(kx)、外部でψ=A cos(ka)exp[−κ(|x|−a)]と書く。連続性により尾の相対振幅が決まり、|ψ|²を内部および尾全体で積分することでAを求める。井戸外部の確率はゼロではなく、深さ、幅、選択された状態に依存する。束縛状態は離散エネルギーと正規化可能な崩壊漸近挙動を持つ。E>0の散乱状態は外部に伝播波を持ち、連続体・フラックスの規準に従って正規化されるか解釈される。崩壊する尾はエネルギー保存則違反の証拠ではなく、未正規化の尾の振幅は外部確率そのものではない（正規化前に積分する必要がある）。

核電荷Zeを持つ一電子クーロンイオンについて、指定がない限り非相対論的中心力場モデルおよび重核近似を用いる。E_n≈−13.6 Z²/n² eV；許容される軌道量子数はn≥1、l=0,…,n−1、m_l=−l,…,l。L²の固有値はl(l+1)$\hbar$²、L_z=m_l$\hbar$である。基底1s軌道は歴史的なボーアの円軌道則とは異なりl=0である。固定nにおける空間縮退度は、スピンおよび微細構造補正前にはΣ_l(2l+1)=n²である。ψ=R_nl(r)Y_lmであり角部分が正規化されている場合、drあたりの半径確率は|R|²drのみではなくr²|R|²drである。水素1sについて、半径密度は4r²e^(−2r/a₀)/a₀³：これはr=a₀で最大となり、平均値は3a₀/2であるが、三次元的点密度は原点で最大となる。最も確率が高い半径を特定する前に、これらの分布を区別せよ。

有限深井戸は$|x|<a$でV = -V0、それ以外ではゼロである。 束縛エネルギーは- V0と零の間に厳密に存在する。定義として

偶対称性は内部に余弦と崩壊する尾を与える。aでの値と導関数の整合により 奇対称性では$-k\cot(ka)=\kappa$となる。有効な対称性区間内でのみ解け； 接線の極にある根は束縛状態ではない。

宣言されたポテンシャルゼロを使用し、ψ'だけでなくψも整合させ、半径球面要素を含める。境界テールと連続波の伝搬波は異なるエネルギー領域を持つ。

束縛状態: 指定されたモデルにおいて確率が局在化し離散エネルギーを持つ正規化可能な定常状態。

半径確率密度: 角度積分後の球殻要素を含む、半径方向距離あたりの確率。