QM.3 · Exchange symmetry, spin pairs and Pauli exclusion

2つの電子は、完全な空間＋スピン状態が要求される反対称性を持つ場合、1つの空間軌道uateできる。

前提知識: 5, 36。

• 正規化された対称および非対称の2軌道空間状態を構成する
• 空間とスピンの対称性を組み合わせて許容される2電子状態を生成する
• 完全状態の占有数を数え、交換に起因する相関を解釈する

同一粒子の場合、すべての座標とスピンラベルを交換すると、フェルミオンの全波動関数は符号が反転し、ボソンの波動関数は不変となる。数式slot 1 と 2 は引数を指しており、永遠に識別可能な粒子ではない。直交正規な軌道 a および b が異なるとき、空間成分の組み合わせは Ψ_±=[a(1)b(2)±b(1)a(2)]/√2 である。直交性によりこれらの組み合わせは正規化され、交換固有値 ±1 が得られる。2つの軌道が同一の場合、反対称組み合わせは恒等的にゼロとなり、表示された対称公式は正しく正規化されていない；二重占有の空間状態は単に a(1)a(2) である。軌道またはその重なりが変わるたびに正規化を再確認せよ。

スピン-1/2 の2粒子には、全スピン S=0 のスピンシングレット (↑↓−↓↑)/√2 が1つあり、交換に対して反对称である。3つのトリプレット ↑↑, (↑↓+↓↑)/√2, ↓↓ は S=1 であり、対称的である。電子は反対称の全状態を必要とするため、対称的な空間状態はシングレットとペアになり、反对称的な空間状態はトリプレットとペアになる。同じ空間軌道にある2つの電子はシングレットを形成できるが、この単純な2電子状態ではトリプレットを形成することはできない。パウリの排他原理は、スピンを含む完全な単一粒子状態への占有を防ぐ。ある軌道内の逆スピン電子は2つの異なる完全状態であり、「1軌道あたり1電子」という排他性を記述することは、この区別を捨てることとなる。

2つの空間軌道 a, b とそれぞれ2つのスピン状態がある場合、4つの完全な単一粒子状態が存在する。2つの同一電子について、choose(4,2)=6 の占有パターンがある：2つの二重占めシングレット、1つの異軌道シングレット、3つの異軌道トリプレット。3つの空間軌道がある場合、6つの完全状態と choose(6,2)=15 のパターンがある。順序付けされた割り当てでカウントすると同一粒子を過剰に数えてしまう。2つの軌道にあるスピンなしボゾンについては、代わりに3つの占有がある：両方ともa、各1つずつ、両方ともb。これらのカウントは追加のエネルギー制限がなく、指定された利用可能な単一粒子状態があることを前提としている。全エネルギーやスピン投影を制限すると、許容される部分集合が変わる。

反対称な空間状態は _−(x,x)=0 を満たすため、一致線上での連位置密度はゼロになる。対称的な空間状態はここで必ずしもゼロにならない。この違いは非相互作用粒子であっても交換振幅間の干渉によるものであり、独立に課された古典的な反発力ではない。長さ L のポテンシャルwellにおいて、a(x)=√(2/L)sin(πx/L), b(x)=√(2/L)sin(2πx/L) と選定する。x₁=L/4 および x₂=3L/4 において、反対称な空間振幅は −2/L であり、その密度は 4/L² となる。対称的な振幅はゼロである。これらは正確な点における無次元確率ではなく、2つの長さあたりの連確率密度である。物理的なスピン適合性は、どの空間合成が使用される全電子状態を決定する。

正規直交で異なる軌道 a, b について、対称および反对称な空間状態は

したがって、対称的な空間はスピンシングレットとペアになり、反对称的な空間はトリプレットスピンとペアになる。 もし両方の電子が a に占有されている場合、空間積は対称であり、シングレットスピンのみが許容される。 異軌道の正規化公式を、a = b の場合にそのまま適用することはできない。 異なる軌道の正規化公式は、a = b の場合にそのまま適用できない。

すべての空間およびスピン引数を交換せよ。反対称空間と反対称全体状態を混同したり、同一の2つの軌道に対して異なる軌道の√2因子を使用したりしてはならない。

スピンシングレット: 全スピン S=0 の反対称二スピン-1/2 状態。

スレーター行列式：完全な単粒子状態から構成されるフェルミオンの反対称構造；重複する状態がある则该行列式はゼロとなる。