QM.2 · Weak perturbations and degenerate subspaces

1次のエネルギーシフトがゼロであっても、状態の変化と高次の nonzero シフトは共存する可能性がある。

前提知識: 5, 24。

• 非縮退の1次のエネルギーシフトを正規化された期待値として計算する
• 対称性と行列要素を用いて弱結合限界を評価する
• 正確に縮退した部分空間内で摂動を対角化する

H=H₀+λW とおく。ここで λ は小さな無次元パラメータであり、H₀ の固有状態が既知かつ正規化されているとする。非縮退準位 n に対する1次のエネルギー補正は λ⟨n|W|n⟩ である。位置表示では、乗算ポテンシャルの場合、この補正は λ∫ψ_n*(x)W(x)ψ_n(x)dx となり、許容される領域について積分を行う。ある一点でのポテンシャル値は期待値ではない。状態の確率密度が全領域に重み付けを行う。無限井戸 0<x<L において、ψ_n=√(2/L)sin(nπx/L) である。中心についての反射により ⟨x⟩=L/2 となるため、加えられた弱いポテンシャル γx は、1次の近似ですべての非縮退井戸準位に γL/2 のシフトを与える。γ の単位はエネルギー per 長さである。

中心に対して奇な摂動、例えば γ(x−L/2) については、非摂動ポテンシャル固有関数の確率密度は偶関数であるため、対角期待値はゼロとなる。一方、中心对称二次摂動 η(x−L/2)² を用いると、シフトは ηL²[1/12−1/(2π²n²)] となり、η>0 の場合正で、n に依存する。パリティにより一階積分がゼロになるのは、指定された状態と演算子の対称性に対するみである。非対角行列要素も波関数を変化させる可能性がある。対称性による相殺をすべてのエネルギー補正がゼロであることや、元の状態が正確に保たれるという主張に変換してはならない。

非縮退状態において、他の未摂動状態 m の主要な混入成分は λW_mn/(E_n⁰−E_m⁰) に比例する。したがって、有用な小さい条件とは、任意の絶対エネルギーゼロとの比較ではなく、カップリング行列要素と関連する準位間隔との比較である。2次まででは、エネルギー補正には Σ_(m≠n)|λW_mn|²/(E_n⁰−E_m⁰) が含まれる。最低の非縮退状態の場合、これらの分母はすべて負であるため、このモデルにおける2次の補正は非正である。縮退付近では、小さな分母が非縮退展開を破綻させるため、ゼロで割るのではなく、結合した部分空間を使用する。

If a level of H₀ is exactly degenerate, choose an orthonormal basis within that subspace and form the Hermitian matrix of the perturbation there. Its eigenvalues are the first-order energy shifts, and its eigenvectors specify the combinations that diagonalise the leading splitting. For a two-state subspace with perturbation ε[[2,1],[1,2]], the normalised symmetric and antisymmetric combinations have shifts 3ε and ε. Reading only the two diagonal entries would incorrectly predict two shifts of 2ε. A common scalar multiple of the identity shifts both states equally and does not split their degeneracy; off-subspace couplings can matter at higher order.

縮退部分空間は、1次のシフトを求める前に行列の対角化を必要とする。 2状態に限定された摂動が $\epsilon\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$ であると仮定する。

シフトは ε と 3 ε である。正規化された状態は $(1,-1)/\sqrt2$ と $(1,1)/\sqrt2$ である。 対角成分のみを読み取ると分裂を見落とす。他の準位とのカップリング はそれらの準位間隔に対して弱く留まる必要がある。

正規化された状態重みを使用し、摂動の単位を保ち、縮退ブロックを対角化する。1次の相殺と完全不変性は異なる主張である。

1次のエネルギーシフト: 未摂動状態の期待値によって与えられる、主要な弱い摂動補正。

縮退摂動論: 未摂動の縮退部分空間内で摂動を対角化することから始める手法。