TS.5 · Quantum occupations and limits of equipartition

フェルミオンエネルギー準位が複数の異なる状態を含む場合、複数の粒子を収容できます。パウリの排他原理は完全な状態ごとに適用されます。

前提知識: 20, 35, 38。

• フェルミオンおよびボソンに対する完全量子状態ごとの平均占領度を計算する
• 許容される同一粒子の占領パターンを数え、古典的な希薄限界を特定する
• 古典的な二次モードの熱容量と量子調和振動子の応答を比較する

熱的平衡および粒子交換平衡にある非相互作用粒子に対して、化学ポテンシャル μ および x=(ε−μ)/(kBT) を用いる。1つの完全状態の平均占領度は、フェルミオンで n_F=1/(e^x+1)、ボソンで n_B=1/(e^x−1) である。フェルミオンの占領はその状態で0または1であり、その平均値は両者の間に存在する。ボソンの占領は1を超えることができる。縮重度 g の準位については、全状態が同じエネルギーを持つ場合、総平均占領数は単一状態の占領度の g 倍となる。スピンは完全状態の一部として数える。通常の有限表現のためにはボソンの分母に ε>μ が要求され、基底状態の極限は別扱いとする。平衡光子については、光子数が保存されないため μ=0 であり、すべての物質粒子ガスに対して μ=0 を設定してはいけない。

同一粒子のラベル付けではなく占有パターンを数える。4つの異なる完全状態に2つの同一フェルミオンを配置する場合、選択数は choose(4,2)=6 である。一方、2つの同一ボソンは同一个状態を共有できるため、選擇数は choose(4+2−1,2)=10 となる。2つのラベル付き区別可能な粒子であれば、4²=16 の割り当てが可能である。これらは同一仕様の3つの交換可能な答えではなく、異なる計数モデルである。問題に縮重度数が与えられた場合、まずそれが完全状態の数か単なる軌道レベルのみかを判断せよ。Pauli排他原理は同一の完全状態には適用されるが、同一空間軌道内の反転スピンフェルミオンには適用されない。

x が大きく正のとき、占有数は小さく、両方の分母は e^x で支配される: n_F≈n_B≈e^(−x) はマクスウェル・ボルツマン希薄極限である。x=ln4 において、フェルミ粒子の平均値は 1/5、ボース粒子のそれは 1/3、古典的近似では 1/4 となるが、差は依然として大きい。全粒子数が大きいだけでは古典統計を正当化できない: 密度、温度、利用可能な状態が占有数を決定する。低温におけるフェルミ粒子の場合、μ より低い状態はほぼ占有され、μ より高い状態はほぼ空になる。ε=μ においてフェルミ状態の平均値は半分であり、この値を通常のボース公式に代入すると分母が発散し、異なる極限処理が必要となる。

古典的な等分配則は、平衡ハミルトニアンの各独立した二次項に kBT/2 の平均エネルギーを割り当てる。一原子理想気体は3つの並進項を持つため、U=3NkBT/2, C_V=3NkB/2 となる。一次元古典調和振動子は運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの項を持つため、平均エネルギーは kBT, C=kB となる。固定間隔 ε=$\hbar$ω の量子調和振動子について、温度非依存零点エネルギーを超えた熱エネルギーは ε/(e^x−1) (ただし x=ε/(kBT)) であり、C/kB=x²e^x/(e^x−1)² となる。高温では古典値に漸近し、低温では励起が凍結して C→0 となる。零点エネルギー ε/2 は U をずらすが C には影響しない。分子の回転・振動寄与についても、古典二次項を割り当てる前にエネルギースケールを確認する必要がある。

占有数は一つの完全な単粒子状態を指す。 $x=(\epsilon-\mu)/(k_BT)=\ln4$ に対して、

古典希薄近似により $e^{-x}=1/4$ が得られるが、ここでは厳密ではない。 g重準位は平均占有数が $g\bar n$ であるため、フェルミ準位には複数の粒子が含まれうる。ただし、各完全な状態については除外原理に従う。 より多くの粒子を含むことができるが、各完全な状態は除外原理に従う。

完全状態から2つのフェルミオンを除外すべきであり、縮退エネルギーレベル全体から除外してはいけない。使用されているxの値を明記すること。化学ポテンシャルによるoccupancyと固定された振動子の励起式は異なるモデルである。

平均占有数: エンサンブル平均における、1つの完全な量子状態または特定の状態群に含まれる粒子の数。

等分配則: 古典平衡則で、独立した二次ハミルトニアン項ごとに kBT/2 を割り当てる。