WO.5 · Diffraction envelopes and missing interference orders

等幅スリットであっても、建設的干渉に必要な経路差を持っていても、その角度では強度を全く出力しないことがある。

前提知識： 3, 17。

• 振幅の重畳を用いて遠方単一スリットの強度を導出・評価する
• 二重スリット干渉の間隔と有限開口包絡線の幅を分離する
• 欠失級を特定し、遠方近似および小角度公式の適用限界を述べる

For a uniformly illuminated slit of width a, far-field contributions across its opening arrive with a phase gradient k sinθ. Add their complex amplitudes before squaring: the normalised integral over x from −a/2 to a/2 is sinβ/β, where β=πa sinθ/λ. The intensity ratio is (sinβ/β)². At θ=0 take the limit sinβ/β→1, rather than calling the centre undefined or dark. Zeros occur at a sinθ=mλ with nonzero integer m. The central peak lies between the first zeros and is twice as wide as one adjacent zero-to-zero interval in sinθ. Side-peak maxima are not exactly halfway between their zeros.

遠方スクリーン L 上で小角度領域において y≈Lθ および sinθ≈θ が成り立つため、最初の零点は y≈±Lλ/a となる。したがって中央幅は 2Lλ/a である。単位はメートルで統一すること：ミリメートルスリットとナノメートル波長は10の6乗の差がある。より広い角度については θ=asin(mλ/a) および y=L tanθ を用い、小角度による y の近似式は不正確になる。遠方条件とは、開口の異なる部分からほぼ平行な光線が必要であり、例えば L ≫ a²/λ または対応する焦点面配置が該当する。近場フレネルパターンにこの強度法を無条件に割り当てることはできない。

幅 a、中心間距離 d の等幅均一照明コヒーレント二重スリットに対し、正規化パターンは (sinβ/β)² cos²α となる（α=πd sinθ/λ、中央強度を正規化定数とする）。cos² 因子は干渉級 d sinθ=nλ を生成し、単一スリット因子はより広い包絡線の零点を与える。小角度での隣接干渉間隔は λL/d である。d を増やすと縞間隔は狭くなり、a を増やすと包絡線は狭くなる。これらは独立した変化である。等高低幅スリット干渉公式だけでは、有限開口による輝度の減少や欠失級を予測できない。非コヒーレント光源は位相依存交差点項を維持しない。

nλ/d=mλ/a が同時に成立するときに欠失級が生じ、n=m d/a となる。d/a が整数 r の場合、級 ±r, ±2r などは開口零点によって相殺される。包絡線の境界にある級可见な明縞として数えない。中央包絡線内では、形式的な干渉級中心は |n|<d/a を満たす。r が整数の場合、そのような中心は 2r−1 個存在する。有限スリット幅の場合、変化する包絡線により正確な局所極大値がわずかにシフトするため、干渉級位置は観測されたピーク中心への近似となる。cos² の各極大値を製品の正確な極大値として扱う前に、要求されている物理量が何かを特定せよ。

有限スリット2つに対して、干渉間隔を単一スリット包絡線から分離する。

二乗する前に電界振幅を加え、a と d を区別し、暗い境界の級を除外せよ。単なる干渉の最大値が、必ずしも完全なパターンの最大値を保証するわけではない。

回折包絡線: 開口に依存する強度因子であり、干渉柄を調製します。

欠失する位相: 開口の強度がゼロとなる点と一致したために相殺される干渉位相です。