EM.5 · RC and RL transients, impedance and resonance

有限の通常回路駆動下ではコンデンサ電圧やコイル電流は瞬時に変化できないが、その定常状態の挙動は異なる。

前提知識: 14。

• 指定された初期条件を用いてRCの充電および放電を解く
• RLの電流応答を解き、蓄えられたエネルギーについて説明する
• 正弦波回路における複素インピーダンス、位相、共振を用いる

抵抗R、コンデンサC、直流電源V_sの直列回路において、キルヒホッフの電圧則は R dq/dt+q/C=V_s となる。V_C=q/C および τ=RC と定義する。一定電源への切替後、V_C(t)=V_s+(V_C(0)−V_s)exp(−t/τ) である。初期未充電の場合、V_C=V_s(1−exp(−t/τ)) となり、充電電流は I=(V_s/R)exp(−t/τ) となる。電源を除去して抵抗のみを接続した場合、V_C=V_C(0)exp(−t/τ) となる。インパルス電流がない限りコンデンサ電圧はスイッチ切り替えで連続であり、抵抗電流は瞬時に変化しうる。

直列RL回路において、キルヒホッフの法則は L dI/dt+RI=V_s であり、τ=L/R である。一定駆動後の電流は I(t)=V_s/R+(I(0)−V_s/R)exp(−t/τ) となる。有限電圧に対してコイル電流は連続であり、スイッチ切り替えによる dI/dt の変化に伴い電圧は急変しうる。長時間後、直流回路内の理想コイルは零電圧接点として振る舞い、理想コンデンサは零直流電流を持つ。蓄えられるエネルギーは LI²/2 および CV_C²/2 である。抵抗への減衰中、初期に蓄えられたエネルギーは電源遮断時に消失せず、抵抗熱となる。

宣言された位相ベクトル慣例 exp(iωt) を用いる。抵抗のインピーダンスは R、コイルは iωL、コンデンサは 1/(iωC)=−i/(ωC) である。したがって直列RLC回路のインピーダンスは Z=R+iX (ただし X=ωL−1/(ωC)) となる。電流を得るには、源電圧の位相ベクトルを Z で割る。rms quantities を用いる場合、その大きさは V_rms/sqrt(R²+X²) である。インピーダンスの位相 φ は tanφ=X/R を満たす。X>0 のとき電流は電圧に対し遅れ、X<0 のとき進みとなる。スカラーの大きさ R, ωL, 1/(ωC) を加算すると、ベクトルの位相情報は失われる。

直列共振は X=0 のとき ω₀=1/sqrt(LC) で発生する。この理想的な直列モデルでは一定電圧に対して電流が最大となり、電圧/電流位相差はゼロである。平均実功率は V_rms I_rms cosφ=I_rms²R であり、理想 L と C はエネルギーを交換するが平均電力を消費しない。これは過渡自然周波数とは異なる：過減衰直列回路は underdamped のとき sqrt(1/(LC)−(R/(2L))²) で振動することがある。大きな抵抗はこのような自由振動を消失させるが、理想的な駆動直列インピーダンスの条件 X=0 は変わらない。問題がステップ応答、自由減衰、正弦波定常状態のいずれを求めるかを明記すること。

RC回路が固定源電圧Vsへ切替される。電荷保存則およびキルヒホッフの法則より

R = 2 kilohms, C = 1 millifarad, Vs = 12 V、かつ初期電圧がゼロの場合、 時間定数は最終状態からの残差来控制する。

RC回路ではτ=RC、RL回路ではτ=L/Rとなる。電流振幅と有効値電流、あるいは駆動インピーダンスの共振と減衰自由振動の周波数を混同しないこと。

時間定数: RC回路ではRC、RL回路ではL/Rで表される指数関数的応答のスケール。

インピーダンス: 正弦波定常状態における電圧と電流の位相ベクトル比（複素数）。