CM.6 · Fluid continuity, pressure energy and viscous flow

細いパイプは太いパイプと同じ定常流量を運ぶが、その圧力挙動は速度および粘性損失の両方に依存する。

前提条件：10、47。

• 不可圧连续性式と圧力、高さ、運動エネルギーを組み合わせる
• 指定された条件の下でのみ静水圧方程式とベルヌーイの定理を適用する
• 粘性、プワゼイユの定数則およびレイノルズ数を用いて流れの regime を識別する

For steady flow, the mass passing successive cross-sections per unit time is equal: ρAv is constant. An incompressible liquid has nearly constant ρ, so Q=Av is the volume flow rate. Halving pipe radius quarters area and multiplies mean speed by four for the same Q. Pressure does not determine Q without a model of the rest of the system. In a stationary liquid, dp/dz=−ρg with z upward; therefore pressure increases by ρgh a distance h below a surface. Use absolute or gauge pressure consistently on both sides.

ポンプや散逸損失がない定常、不可圧、無粘性流れにおいて、 streamline に沿ったベルヌーイの定理は p+ρv²/2+ρgz=constant で与えられる。これら3つの項は体積あたりのエネルギーであり、圧力の単位を持つ。同じ高さであれば、これらの仮定のもとで速い流速には小さい静止圧が必要となる。出口が高いほど、重力ポテンシャルエネルギーを得るために圧力・運動エネルギーが消費される。回転流において、ある streamline に沿ったベルヌーイの定理は、異なる streamline 間でも同じ定数が成り立つことを意味しない。停滞点では v=0 であり、理想的な模型では局所的な速度エネルギーが圧力上昇に変換される。

Viscosity transports momentum between neighbouring fluid layers. For steady fully developed laminar flow of a Newtonian incompressible liquid in a circular tube, Q=πR⁴Δp/(8ηL). Here Δp is the pressure drop along the tube, η dynamic viscosity and L tube length. Doubling radius at fixed Δp, η and L multiplies Q by sixteen. Doubling Q at fixed geometry needs twice the pressure drop. This viscous pressure loss cannot be added to a loss-free Bernoulli equation as though nothing changes; include a dissipative pressure/head loss or use the viscous model.

レイノルズ数 Re=ρvD/η は、特徴的な速度 v と長さ D を用いて慣性効果と粘性効果を比較する。管の場合、半径ではなく平均速度と内径を用いる。Re は無次元量である：密度×速度×長さの単位は動粘度と同じである。Re が小さいほど粘性優位を好むが、乱流への遷移は幾何学や乱れに依存するため、単一の閾値が普遍的な法則とはならない。乱流を仮定した後は、プワゼイユの定数則を安全に適用できない。公式を選択する前に、体積の連続性、圧力変化の符号、そして regime を確認すること。

定常、不可圧、水平な理想流れにおいて、断面積は 4 および 1 平方センチメートルである。 最初の断面における速度は 1 m/s である。連続性とベルヌーイの定理より

连续性（ continuity ）は、1本の定常パイプ内で Q が一定であることを示す。ポアイユイの法則は、指定された圧力損失下で異なるシステム間の Q を比較するもの。半径の累乗を比較する前に、何が一定に保たれているかを明記せよ。

体積流量：単位時間あたりに断面を通過する体積。平均速度 v に対して Q=Av。

動粘度：ニュートン流体においてせん断応力を速度勾配に比例させる係数。