CM.5 · Accelerating and rotating reference frames

回転プラットフォーム上で静止している人は、プラットフォーム相対の加速度がゼロであっても、実際の内向き力が必要です。

前提知識：26。

• 移動および回転する座標系との項を用いた加速度の変換
• 外積から遠心力、コリ奥利力、オイラー力の方向を決定する
• 見かけの力と実際の相互作用を分離し、慣性系 limiting を検証する

原点の加速度が A の移動座標系において、ニュートンの方程式は m a′=F_real−mA となる。上方へ加速するエレベーターでは、地上座標系で N−mg=ma であり、エレベーター座標系内の静止した乗客に対しては N−mg−ma=0 となる。これらは同じ予測を与える。追加された項は、選択された加速座標による見かけの力であり、他物体との新たな接触ではない。A=0 の一様な移動は速度を変化させるが、見かけの力は必要ない。

For a rotating basis, differentiating a vector adds Ω×that vector. Applying this twice gives a=a_origin+a′+2Ω×v′+Ω×(Ω×r)+Ωdot×r. Here r and v′ are measured relative to the moving origin in its rotating axes; all vectors in a calculation must be expressed in the same basis at the same instant. Move the last three rotational terms to the force side to obtain Coriolis −2mΩ×v′, centrifugal −mΩ×(Ω×r), and Euler −mΩdot×r. A constant rotation removes the Euler term, not the Coriolis term.

Ω を +z 軸に沿って上から見た反時計回りのプラットフォームとし、粒子を +x 軸上の r に置く。遠心力は +x 方向に、大きさ mΩ²r で働く。粒子が外向きに v′ が +x 方向で動いている場合、Ω×v′ は +y となるため、コリ奥利力は −y 方向を向く。相対速度を逆転させるとコリ奥利力も逆転する。v′=0 を維持すると消失する。コリ奥利力は v′ に垂直であり、その相対運動に対して瞬時に仕事を行わない。遠心力は回転軸から外向きであるが、任意の三次元位置において必ずしも選択された原点から外向きとは限らない。

平台上で静止している物体は a′=v′=0 である。一定の回転と固定原点において、その実力は内向きの mΩ×(Ω×r) であり、回転座標式における外向きの見かけの項を打ち消す。回転が変化する場合は、オイラー項も釣り合わせるために接線方向の実力が必要となる。常に Ω→0 および A→0 を確認すること：通常の慣性系ニュートン運動に戻らなければならない。同じ物体に対して内向きの遠心要求と外向きの実反応を混同しない；相互作用の相手は別々の自由体図に含まれるべきである。

回転座標系において、コリ奥利力は相対速度を用いる。

相対速度 v′ はコリ奥利ス項に含まれるべきである。全慣性速度を使うと回転を二重にカウントしてしまう。

コリ奥利力: 相対運動によって生じる見かけの回転座標系の力 −2mΩ×v′。

遠心力: 回転軸から外向きに向き、−mΩ×(Ω×r) で与えられる見かけの回転座標系の力。