CM.4 · Constraints, variational equations and cyclic coordinates

振り子の張力は振動中に変化するため、張力を解くことなく角運動方程式を導出できる。

前提知識：1, 47.

• 完全拘束条件を課した後のオイラー＝ラグランジュ運動方程式を導出する
• 循環座標を用いて保存される正準運動量を特定する
• 安定平衡点を線形近似し、得られた振動数を確認する

A constraint removes an independent coordinate before you form the kinetic energy. For a fixed-length pendulum choose θ from the downward vertical: x=l sinθ and y=−l cosθ. Differentiating both coordinates gives v²=l²θdot², not l² sin²θ θdot². Thus T=ml²θdot²/2 and V=mgl(1−cosθ), with zero potential at the bottom. The fixed length is a holonomic constraint: it is a relation among coordinates and possibly time. A rolling velocity constraint needs its own analysis; do not automatically treat every constraint as a coordinate substitution.

理想拘束および通常の保存系において、静止作用の式は d/dt(∂L/∂qdot) − ∂L/∂q = 0 です（ここで L = T − V）。変分は2つの時間端点でゼロになります。単振動に対して、∂L/∂θdot = ml²θdot および ∂L/∂θ = −mgl sinθ であるため、ml²θddot + mgl sinθ = 0 となります。運動量の微分はすべての時間依存因子に作用します：半径が変化する場合、d(mr²θdot)/dt には 2mr rdot θdot が含まれます。変分法は、時間依存系において機械的エネルギーが保存されることを意味するものではありません。

平面中心力運動に対して、L = m(rdot²² + r²²θdot²²)/2 − V(r) です。L は θdot に依存しますが、θ 自体への明示的な依存性がないため、角度 θ は循環座標です。その正準運動量 pθ = mr²²θdot は一定です。径方向の方程式は m rddot = mrθdot²² − dV/dr です。第1項は座標加速度の一部であり、慣性系における新しい外向きの実力ではありません。pθ の保存は、r が減少するにつれて角速度が増加することを意味します；一定の角速度は異なる、外部駆動による状況です。

安定な平衡点 q0 付近で V を2次まで展開し、定数局所慣性 M を用いる：V≈V(q0)+V″(q0)(q−q0)²/2。小振幅振動の角周波数は sqrt(V″/M) である。振り子ではラジアン単位で sinθ≈θ なので、ω=sqrt(g/l)；この近似は小振幅を仮定する。V″ が負なら不安定であり、虚数の測定可能な周波数を持つ振動ではない。まず完全非線形方程式を確認し、次に近似式を述べて単位を確認する：V″/M は時間の逆平方の単位を持つ必要がある。

固定された単振動の長さ l に対して、下向き鉛直方向からの theta を用いる：x = l sin theta, y = -l cos theta。 Both Cartesian velocities give $T=ml^2\dot\theta^2/2$ and $V=mgl(1-\cos\theta)$. Euler-Lagrange 方程式— は

循環座標は L そのものには含まれない；その速度も含まれない必要はない。変化する r² 因子の時間微分を破棄してはならない。

ホロノミー的制約: 座標と時間の間の関係式として書かれた制約。

循環座標: L 自体に含まれないため、その正準運動量は保存される。