QM.1 · Scattering, degeneracy and Pauli operators

量子波動は、古典粒子にとって転回点がない下向きのポテンシャル段でも反射することがある。

前提条件: 5。

• 有限ポテンシャル変化における伝播波とフラックスを一致させる
• 等方調和振動子の縮重状態の数を数える
• パウリ積を評価し、反交換と同一性を区別する

一定ポテンシャルVおよびエネルギーE>Vにおいて、空間解はexp(±ikx)の伝播因子であり、k=sqrt[2m(E−V)]/$\hbar$である。同じ粒子質量を持つ有限ステップでは、波動関数およびその第一微分は連続である。右側からの入射ビームがない左入射散乱問題において、遠方の右側解には右方向伝播因子Ae^(ikx)のみが含まれる。有限ポテンシャル井戸が元の外部ポテンシャルに戻った場合、内部の波数は異なっても、透過された外部の波数は入射波数と等しい。指数関数的に減衰する解はE<V領域を記述するものであり、すべてのポテンシャル井戸ではない。

V1からV2へのステップで両領域が古典的に許容される場合、領域1に入射加反射振幅を、領域2に透過振幅を表す。連続性よりr=(k1−k2)/(k1+k2)、t=2k1/(k1+k2)となる。反射確率はR=|r|²、透過はT=(k2/k1)|t|²である。これは確率電流が波数に依存するためである。よって、損失のないステップに対してR+T=1となる。確率電流係数なしで単に二乗した透過振幅をRに加えてはいけない。k2=3k1の場合、下降ステップであってもR=1/4、T=3/4となる。

三次元等方調和振動子は非負整数n_x, n_y, n_zを持つx, y, zモードに分離する。エネルギーは(N+3/2)$\hbar$ωであり、N=n_x+n_y+n_zである。スピンゼロの識別可能な単一粒子について、空間的な縮重度はそのような三重項の数である: (N+1)(N+2)/2。これは単純な順序付けされない分割だけでなく、異なる割り当ての数を数えるものである。N=2の場合、6つの状態は(2,0,0)および(1,1,0)の順列である。N=3の場合、縮重度は10である。追加のスピンまたは同一粒子の制約は counting 問題を変化させる。

パウリ行列はσ_x=[[0,1],[1,0]]、σ_y=[[0,−i],[i,0]]、σ_z=[[1,0],[0,−1]]である。各々は単位行列に二乗して等しくなる。直接乗算によりσ_xσ_y=iσ_z、σ_yσ_x=−iσ_zとなり、異なるパウリ行列は反交換する。x→y→zの循環的積は正のiを持ち、順序を逆転させると符号が変わる。一般的な恒等式はσ_iσ_j=δ_ijI+iΣε_ijkσ_kである。行列の順序は重要であり、σ_xσ_z=−iσ_yであり、iσ_yや単にσ_yではない。これらの無次元行列はスピン演算子S_i=$\hbar$σ_i/2となり、物理的单位と係数を加える。

有限ポテンシャルステップにおいて、同じ粒子質量の波動関数および微分を一致させる。

散乱、縮重およびパウリ演算子: GRE教育用原図。

透過確率は波数の確率流比を必要とする。調和振動子の縮重度は順序付きモード triplets の数を数える。パウリ行列の順序を逆にする場合は、符号も変更すべきである。

反射係数: 入射電流に対する反射確率電流の割合。

縮重度: 指定されたエネルギーを共有する独立した状態の数。