RA.1 · Relativistic lifetime, energy and Doppler shift

高速で不安定な粒子は、その静止系での寿命に速度を掛けた値よりも実験室系ではより遠くを移動する。

前提知識：6, 42。

• 固有寿命を実験室時間および距離と関連付ける
• 不変エネルギー・運動量および相対論的運動エネルギーを用いる
• 波長比から後退速度を推定する

相対速度 v に対して、β=v/c および γ=1/sqrt(1−β²) と定義する。固有時間は粒子の世界線に沿って測定され、それに同期した静止時計によって計測される。固有平均寿命が τ0 である場合、実験室平均寿命は γτ0 であり、一定速度での平均移動距離は vγτ0 となる。崩壊は統計的なプロセスであり、平均寿命は各粒子の確定した崩壊時刻を保証するものではない。β=0.8 のとき、γ=5/3 となる。時空イベントは一つの座標系内で一貫して計算すること；固有時間と座標時間は異なる物理量である。

Total energy is E=γmc², momentum p=γmv and invariant E²−p²c²=m²c⁴. When E and pc are expressed in the same energy units, find mc²=sqrt(E²−(pc)²), not E−pc. The nonnegative square root is required for positive rest mass. For E=13 GeV and pc=12 GeV, rest energy is 5 GeV and mass is 5 GeV/c². A massless particle has E=pc but need not have zero energy or momentum. These relations concern isolated-particle four-momentum, not classical mv at relativistic speed.

静止状態から粒子を加速するための仕事は運動エネルギー K=E−mc²=(γ−1)mc² に等しい。β=0.6 のとき、γ=1.25 であり K=0.25mc² となる一方、古典力学の ½mv² は 0.18mc² を与える。古典的な運動エネルギーは低速域での展開であり、光速 c 付近では不正確になる。有限の加速仕事は γ を増加させるのみであり、質量を持つ粒子が光速に到達または超えることを許容しない。解答単位の解釈にあたっては、全エネルギー、静止エネルギーおよび運動エネルギーを明確に区別すること。

特殊相対論における純粋な後方相対運動の場合、波長比 r=λ_observed/λ_emitted=sqrt((1+β)/(1−β)) となる。これを整理すると β=(r²−1)/(r²+1) となる。比率 r=2 の場合、β=3/5 となり、低速度近似による c×(r−1) ではない。ブルーシフトではこの記法において r<1 であり、後退パラメータは負となる。この式はシフトが完全に運動学的であることを仮定している；宇宙論的膨張や重力赤方偏移については別のモデルが必要である。スペクトル比率を解釈する前に、問題文で指定されたモデルを明記すること。

全エネルギーと運動量は不変の静止エネルギーを決定する。

固有寿命を実験室の時間として使用したり、E から pc を引いて静止質量を求めたり、大きな波長比に対して古典的なドップラー近似を用いたりしてはならない。

固有時間：物体の世界線に沿ってそれと共に動く時計によって記録される時間。

静止エネルギー：物体の静止質量に関連するエネルギー mc²。