LM.1 · Counting statistics, uncertainty and dimensional models

A detector with ten percent efficiency does not register exactly ten photons out of every hundred. The count fluctuates even with stable efficiency.

前提条件：47。

• 二項分布およびポアソン分布のカウント平均と変動を使用する
• 指定された相関仮定を用いて小さな不確かさを伝播させる
• 次元の指数制約を解き、モデルの次元を確認する

N個の独立した入射粒子がそれぞれ確率 p で検出される場合、カウント X は二項分布に従う：平均値 Np、分散 Np(1−p)。標準偏差は sqrt[Np(1−p)] であり、分散そのものではない。N が大きく p が小さい場合、ポアソン近似では平均 λ=Np、分散 λ となるため、標準偏差は sqrt(λ) である。N=200、p=0.05 の場合、正確な平均値は 10、標準偏差は sqrt(9.5)≈3.08 であるのに対し、ポアソン近似では sqrt(10)≈3.16 となる。どちらのモデルも固定されたカウントを保証するものではない。相関のある検出やデッドタイムは独立性を無効にする可能性がある。

For a smooth measured function y(x1,…), linearise changes using its partial derivatives. Independent small standard uncertainties combine in quadrature: σ_y²≈Σ(∂y/∂xi)²σ_i². Correlated inputs require covariance cross terms. For y=x^a, fractional standard uncertainty is approximately |a|σ_x/|x|. Thus kinetic energy K=½mv² with negligible mass uncertainty has fractional uncertainty twice that of speed. With independent mass uncertainty, combine (σ_m/m)²+(2σ_v/v)². These approximations need small errors and a suitable local linear model.

ランダムなばらつきは精細さを示し、一般的なキャリブレーションバイアスは正確性に影響を与え、反復平均によって消滅しない。独立した反復測定の場合、平均値の標準不確かさは 1/sqrt(n) で減少するが、共通する系学的誤差は減少しない。物理的なばらつきの不確かさとその推定平均値の不確かさは異なる量である。提示されたパーセンテージが標準不確かさ、信頼区間、あるいは最悪ケースの限界値であるかを明記せよ。絶対寄与を合計することは保守的な限界値であり、独立標準誤差の四角和法ではない。

次元解析は数値の大きさではなく、質量、長さ、時間の指数を等価とする。Planck長 G^a $\hbar$^b c^d の場合、次元は [G]=L³/(MT²)、[$\hbar$]=ML²/T、[c]=L/T である。長さが得られるためには −a+b=0、3a+2b+d=1、−2a−b−d=0 が必要である。したがって a=b=1/2、d=−3/2 となり、長さは sqrt(G$\hbar$/c³) となる。次元解析では任意の無次元係数を決定したり、選択された定数が物理的に十分であることを証明したりすることはできない。数値を代入する前に、次元の合わない式は却下せよ。

$K=mv^2/2$ に対する独立した小さな標準不確かさがある場合、まず微分を行う。

平均カウントと保証されたカウント、分散と標準偏差、またはランダムな標準誤差とキャリブレーションバイアスを混同しない。次元の一貫性は必要条件だが、十分条件ではない。

標準不確実性：指定された計測モデルにおける標準偏差として表される不確実性。

ポアソン近似：分散が平均と等しい稀な独立事象の計数モデル。