TS.2 · Speed distributions and statistical ensembles

気体は平均速度がゼロであっても、粒子は十分な平均速度を持つことができる。ベクトルの平均では反対方向が相殺されるが、速度には符号がない。

前提知識: 4, 35。

• 連続的な速度密度を正規化し、その単位を解釈する
• ベクトル平均、速度平均、最確率速度を区別する
• 縮重度と分配関数を伴うボルツマン重みを用いる

連続速度確率密度 f(v) において、f(v)dv は狭い区間内の確率を近似し、∫(0から∞) f(v)dv=1。密度は逆速度の単位を持ち、それ自体が確率ではない。P(v)dv がその区間の粒子数を表す場合、面積は粒子数Nとなり、f=P/Nとなる。幅 v0 で上昇し、幅 2v0 で一定となり、その後幅 v0 で下降する台形の面積は、高さ a に対して 3av0 となる。平均値の計算やプロットの高さの解釈を行う前に、面積で正規化すること。

等方平衡気体で_errors流がない場合、各速度成分の分布は対称であるため ⟨v_vector⟩=0 となる。速度 v=|v_vector| は非負であり、正の平均を持つ。古典的理想気体において、マクスウェル速度密度は v²exp[−mv²/(2kBT)] に比例する。その極大値は sqrt(2kBT/m)、平均値は sqrt(8kBT/(πm))、二乗平均平方根速度は sqrt(3kBT/m) である。これらは3つの異なる物理量である。v² の因子により、速度密度は v=0 でゼロとなるが、速度ベクトル密度はゼロベクトルで最大となる点がある。

連続分布において、特定の単一の速度を持つ確率はゼロである；非ゼロの確率は区間に関するものである。この命題は、極めて小さい速度を持つ粒子が存在しないことを意味したり、有限分解能の検出器がゼロのビン記録できないことを意味したりしない。温度はマクスウェル分布のスケールを変化させる：特徴的な速度は sqrt(T/m) に比例する。温度を倍にしても速度が倍になるわけではなく、同じ温度であれば重い粒子の方が平均して遅い。

温度Tの正準アンサンブルにおいて、エネルギーE_iの状態の重みは exp(−E_i/(kBT)) である。分配関数 Z=Σexp(−E_i/(kBT)) で割ることで確率が得られる。エネルギー準位に縮重 g_i がある場合、その準位の確率は g_i exp(−E_i/(kBT))/Z となる。縮重度が異なる場合、状態あたりのエネルギーが等しいことは、準位あたりの確率が等しいことを意味しない。縮重度 1 の基底準位と、Δ=kBT ln2 のエネルギー差を持つ縮重度 2 の励起準位において、励起準位の総重みは 2e^(−ln2)=1 であり、両準位の確率はそれぞれ 1/2 となる。古典的なマクスウェル・ボルツマンの仮定は、ボース・アインシュタインおよびフェルミ・ディラックの量子占有とは異なる。

正則アンサンブルは基底状態の縮退 1 とギャップ Delta における励起状態の縮退 g を持つ。

密度高さは確率ではない。平均速度、平均速率、最頻値は異なり、準位確率を正規化する前に縮重度を含める必要がある。

確率密度: 連続変数の単位あたりの確率であり、その積分により区間の確率が得られる。

分配関数: 平衡状態の確率を正規化するために用いられる統計的重みの和。