WO.3 · Fourier symmetry and wave superposition

波形は多くの調和成分を含むことがあり、正弦項が全くないこともある。反射対称性により、積分前にどの係数がゼロになるかを特定できる。

前提知識: 3, 47。

• 直交性を用いてフーリエ係数を特定する
• 定数項を破棄せず、偶関・奇関の対称性を活用する
• 成分の振幅を干渉および物理的な波形と関連づける

十分に規則的な実数 2π-周期関数 f(x) について、f(x)=a0/2+Σ[a_n cos(nx)+b_n sin(nx)] と表せる。係数は a_n=(1/π)∫from−πtoπ f(x)cos(nx)dx および b_n=(1/π)∫from−πtoπ f(x)sin(nx)dx であり、a0 は n=0 を用いる。コサインとサインは完全な周期において直交する。平均値は a0/2 であり、a0 ではない。ある家族の非零周波数係数がすべてゼロであっても、定数項は維持されるべきである。

f が選んだ原点に対して偶関数であれば、f(x)sin(nx) は奇関数となり対称積分はゼロになるため、すべての b_n はゼロとなる。f が奇関数であれば、その平均値とすべての a_n はゼロとなる。対称性は原点に依存する：同じ物理信号をシフトすると、調波周波数は変化させずに、正弦および余弦の係数を混合させることがある。したがって、x=0 について対称な非負三角波は、余弦調波と非零の平均値を持ち、かつ正弦調波を持たないことができる。

[−π, π] 上の f(x)=|x| の 2π-周期拡張について、平均値は π/2 である。[0, π] 上で x cos(nx) を部分積分すると、a_n=2[(-1)^n−1]/(πn²) となり、偶数の n に対する余弦係数はゼロであり、奇数の n に対する係数は −4/(πn²) となる。すべての正弦係数はゼロである。1/n² の減衰は、傾きの不連続点を持つ連続関数を反映している。ジャンプ不連続点はしばしばより遅い係数の減衰と部分和のオーバーシュートをもたらすが、すべての波形で同一の収束挙動を推論してはならない。

フーリエ級数は位相を含めた振幅を加算する。等しい同位相単色光の振幅 A が位相差 φ で重なり合う場合、合成された振幅の二乗は 2A²(1+cosφ) であり、強度は 2I0(1+cosφ) となる。同位相では 4I0 であり、φ=π ではゼロとなる。無位相な平均化では交差項が除去され、2I0 となる。異なる周波数の調波は時間とともに形状を形成できるが、その瞬間的な和は個々の強度の和ではない。問題が波形、時間平均電力、あるいは同位相干渉のいずれに関するものかを特定せよ。

実数周期関数については $f=a_0/2+\sum(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$ を用いる。 偶対称性により、被積分関数が奇関数となるため、すべての正弦係数はゼロとなる。 $f(x)=|x|$ について $[-\pi,\pi]$ 上で、

偶対称性はサイン係数を除去するが、定数項やすべてのコサイン高調波を除外するわけではない。強度を加算する前に、対称性の原点と電界が同相であることを確認すること。

直交性: 指定区間において異なる基底関数の積の積分がゼロとなること。

フーリエ係数: 周期展開における正弦、余弦、または定数基底成分の重み。