EM.1 · Electrostatic superposition, flux and conductors

帯電導体は内部の電場がゼロでも、そのポテンシャルがゼロでないことがあり得る。

前提知識：2、47。

• 実際の幾何学を用いてクーロン力をベクトルとして加算する
• 対称性または立体角と指定された方向性からフラックスを計算する
• 誘起表面電荷を用いて導体の電場とポテンシャルを求める

位置 r0 に点電荷 Q がある場合、E(r)=Q(r−r0)/(4πε0|r−r0|³)。-field の大きさを重ね合わせるのではなく、ベクトルを重ね合わせる。2つの正電荷が電子を引き寄せる場合、同じ方向の力は加算され、反対方向の力は減算され、直交成分は三平方の定理により合成される。観測点と各力の方向を最初に定義せよ。ポテンシャルは無限遠をゼロとするスカラー和 V=ΣQ/(4πε0r) である。E=−∇V であるため、ポテンシャルがゼロであっても一般に電場がゼロとは限らない。

ガウスの法則は閉曲面積分 ∮E·dA=Q_enclosed/ε0 である。法線方向の電場が一定か、あるいは他のフラックス寄与がゼロになるように対称性が成り立つ場合にのみ、局所的な電場を単純に決定できる。無限平面に近い電荷はその総フラックスの半分をその平面を通じて送出する：平面は 4π 中の 2π という立体角をなす。結果は距離や横方向の位置に依存しないが、符号は選んだ平面の法線と電荷の符号に依存する。開いた平面は電荷を囲んでいないため、それを閉曲面として扱う表現は誤りである。

静電平衡において、導体内の電場はゼロであり、導体は一定のポテンシャルを持つ。内半径 a、外半径 b、導体殻の総電荷 q を持つ導体球形殻の中心に電荷 Q を置く。導体内部にあるガウシアン面では内表面電荷 −Q が必要となり、したがって外表面には q+Q がある。球対称性により外部電場は中心における総電荷 Q+q に相当する。無限遠をゼロとした材料のポテンシャルは (Q+q)/(4πε0b) であり、材料内の観測半径に依存しない。

その中心電荷付き殻の空洞内では、0<r<a について電場は Q/(4πε0r²) で放射状となる。ポテンシャルは点電荷寄与と一定の殻寄与の両方を含む；各表面をまたいでも連続性は保たれるが、表面電荷处では法線電場は不連続である。空洞、導体材料、外部を別々に扱え。中心からのずれのある電荷も内表面の総電荷 −Q を誘起するが、空洞内の電場は単純な中心放射電場ではなくなる。導体内のゼロ電場は平衡によるものであり、すべての表面電荷分布が均一であるという仮定によるものではない。

中心に点電荷 Q を持つ導体球形殻があり、その総電荷は q である。 静電平衡状態では、金属内部の電場はゼロになる。 金属内のガウシアン面が囲む正味電荷はゼロであるため、$Q_{inner}=-Q$となる。 電荷保存則より$Q_{outer}=q+Q$が得られる。外半径を b とし、無限遠での電位をゼロとする。

開平面半フラックスの結果と閉じ込められた電荷を混同しないでください。導体のゼロ電場は一定の電位を決定しますが、必ずしもゼロ電位とは限りません。

立体角: 面が張る角度面積。ステラディアンで測定される。

誘起表面電荷: 静電平衡を満たすために導体に再配置された電荷。