CM.2 · Rotation, buoyancy and terminal-speed balances

浮遊しているブロックをひっくり返すと、総重量が変わらなくても沈んでいる木材の量が変わることがある。

前提知識：10。

• 支点のトルクと回転慣性を一貫して用いる
• 滑りなし条件で転がり運動の運動エネルギーを内訳する
• 複合体に対して浮力と抵抗を釣り合わせる

固定支点周りのトルクは r×F であり、その大きさは垂直なレバーアームを用いて求めます。長さ L の均質ロッドが一端で支点を持つ場合、重力は中心 L/2 で作用し、慣性モーメントは ML²/3 です。角度 θ が鉛直方向から測られる場合、重力トルクの大きさは Mg(L/2)sinθ であり、角加速度の大きさは 3g sinθ/(2L) となります。符号を割り当てる前に正の回転方向を定義してください。平行軸定理の補正なしで重心慣性 ML²/12 を使用すると、誤った加速度が得られます。

滑りなく転動する物体は v=Rω を満たす。全運動エネルギーを ½Mv²+½Iω² と表す。I=βMR² であるとき、回転の割合は β/(1+β) となる。実心円盤の場合 β=1/2 で、その割合は 1/3 である。輪の β=1、割合 1/2 。静止した固定面上での瞬間的に静止する接点において、静摩擦力はエネルギーを散逸させずに転動に必要なトルクを提供できる。滑る物体は滑りなし条件を自動的に満たさない。

浮遊する複合体に対して、浮力は沈没部分すべてについて排 fluid の重さの合計に等しい。体積 V の木材ブロックと密度の高い石（体積 Vs）があるとする。石が水面より上にある場合、沈んでいる木材のみが寄与する：ρwater g fV が全重量に等しい。石が下面に取り付けられて完全に沈没している場合、排 fluid 体積が減少するため木材に必要な沈没分は f−Vs/V となる。石が重さを失うわけではない；水がその支持の一部を負担している。仮定した姿勢や浮揚が物理的に可能か確認せよ。

終端速度とは、速度がゼロや力がゼロであることを意味するのではなく、加速度がゼロであることを指す。二次抵抗 C v² と下向きの重力 Mg を考え、浮力を無視すると vt=sqrt(Mg/C) となる。他は同一の2つの小球は抵抗係数 C を共有し、質量を倍にすると終端速度は sqrt(2) 倍になる。浮力が重要である場合、Mg を (M−ρfluid V)g に置き換える。線形抵抗モデルでは異なる質量のスケール dependence が得られる。指定された抵抗則を明記し、力つり合いを比較せよ。異なるモデル間で公式をそのまま移用してはならない。

物体が固定面上で滑りなく転がっている。滑らない条件は v = Rω である。

実心円盤の場合、β = 1/2 であるため、回転の寄与は 一端を支点とする均質棒については、重心慣性モーメントではなく $I=ML^2/3$ を用いる。 この支点 $\tau=-Mg(L/2)\sin\theta$ について、下向き鉛直からの角度 θ で測る。

選んだ支点周りの慣性モーメントを用いる。浮力においては、石の排水体積と重さを両方考慮せよ。終端速度には特定の抗力法則が必要である。

慣性モーメント: 指定された回転軸から垂直な距離の二乗に質量を掛け合わせたもの。

終端速度: 逆向きの力が釣り合う一定の速度。