CM.1 · Collisions, work and oscillator energy

2台のカートが異なる方向から接近し、接着した後の運動量は保存されるが、運動エネルギーは減少する。

前提条件：1。

• 接着衝突におけるベクトル運動量およびエネルギー損失の計算
• 一定力のスプリングの比較および仕事-エネルギー条件の使用
• 小振幅振動の周期および振動子のエネルギーの導出

短い衝突期間中に孤立系を選択する。外部インパルスが無視できる場合、全運動量を各デカルト方向ごとに分別して保存する。質量 m1 と m2 が接着する場合、共通の速度は (m1 v1+m2 v2)/(m1+m2) である。ベクトルを加算した後にのみその大きさを見出せ。初期運動エネルギーは各 ½m|v|² の和であり、最終運動エネルギーは全質量と共通の速さを用いる。その差は内部エネルギーや変形となり、運動量の欠落ではない。完全非弾性衝突とは、最終的に静止することではなく、接着することを意味する。

The work–energy theorem ΔK=∫F·dr uses net force along displacement. For a constant parallel force over distance s, ΔK=Fs. Speed doubling quadruples kinetic energy. Conservation of mechanical energy is a separate statement requiring no unaccounted nonconservative work. At a spring displacement x, U=½kx². Under the same applied force F, equilibrium extension is F/k and stored energy is F²/(2k): a stiffer spring stretches less and stores less energy. Under the same extension, it stores more. Identify which condition is held fixed.

安定な平衡点 x0 付近で U≈U(x0)+½U″(x0)(x−x0)² と展開できる；有効剛性は正の U″(x0) である。運動は m xddot=−k_eff(x−x0) に従い、ω=sqrt(k_eff/m)、周期は 2π/ω となる。単振動の振り子では θddot+(g/L)sinθ=0 を満たす。小振幅近似 sinθ≈θ より、T=2πsqrt(L/g) となる。この近似は周期と長さの比例関係を説明する。大振幅の場合には補正が必要であり、理想振り子では質量は消滅する。

減衰のない調和振動子の全エネルギーは ½m v²+½kx²=½kA² である。平衡位置では全エネルギーが運動エネルギーとなり、変位端（反転点）では速度がゼロで全エネルギーがポテンシャルエネルギーとなる。角周波数は通常の周波数ではない：ω=2πf。同じ振動子が平衡速度 vmax を持つ場合、A=vmax/ω となる。速度を測定する instant と離脱変位を区別し、millijoule 単位の回答が求められた場合は SI 単位を維持せよ。

外部からの冲量が negligible な状態で2つのカートが衝突して一体となる。運動量ベクトルを加算し、総質量で割る。 既知：質量 m1 = 2 kg、速度 v1 = (3,0) m/s；質量 m2 = 1 kg、速度 v2 = (0,3) m/s。

入射速度の大きさを運動量として加算したり、くっついている衝突における運動エネルギーを保存したりしてはならない。一定力スプリングと一定伸長スプリングの比較については、正反対の答えとなる。

external impulse: 選択された系外からの合力の時間積分。

turning point: 瞬間的な速度がゼロとなる極限の振動子位置。