GAC016 数学III：微積分と高度な応用

平均速度は瞬時速度のすべてを教えてくれず、符号付き変位が常に移動距離の合計に等しくありません。微積分はこれらの違いを厳密にします。

GAC016では、微分法と積分法およびその応用を学ぶ。貴校の現在の評価要件に基づき評価課題や採点基準が決定されるため、これらのオリジナル練習シートは大学での単位認定や公式試験形式を確立するものではない。

説明変数、定義域、単位を記述する。記号$dy/dx$はxに関する導関数を意味し、yの上にドットがあるのは通常時間に対する導関数を指す。これらの記号は説明変数が一致する場合に限り、同じ操作を記述している。

実務的な応用において、指定されたモデルにおける勾配（rate）または蓄積値の意味を説明せよ。体積変化率 -3 cm³/s とは、体積自体が負であるのではなく、体積がその速度で減少していることを意味する。

導関数とは変化の割合であり、$x$ が変化する際に $y$ がどれだけ速く変化するかを示す。幾何学的には ある点における 接線の傾き に相当する。

この極限値が導関数の定義である。定義から微分する（first principles） 方法では、非ゼロの h に対する差分商を用い、その極限を取る。右側極限と左側極限が異なる場合（例：$|x|$ の zero における場合）、関数が連続していても導関数は存在しない。

• 累乗則: 累乗が微分可能な定義域において: もし $y = x^n$ なら $\dfrac{dy}{dx} = nx^{\,n-1}$ 。
• 積の微分則: $(uv)' = u'v + uv'$ 。
• 商の微分則: $v\ne0$ のとき: $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ 。
• 合成関数の微分則（連鎖律）: もし $y = f(g(x))$ なら $\dfrac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ 。
• 停留点 は $f'(x) = 0$ となる地点で生じる。このとき 二階導関数 は 非ゼロの場合に停留点を分類する: 負の値は局所 最大値 を、正の値は局所 最小値 を与える。二階導関数が零の場合は判断不能であり、導関数の符号や他の証拠を使用せよ。停留点の鞍点は極大値・極小値のいずれでもないことがある。

** worked example.** 接線の傾きは、割線の傾きとは異なる

既知: $f(x)=x^2$ 。x=1 と x=2 の間の割線の傾きは 3 だが、x=1 における導関数は 2 である。

有限区間における平均傾きは、端点のいずれかにおける瞬時傾きと等しくなる必要はない。

オリジナル練習シート 3.1 を用いて、解答に対して手法、定義域、解釈を検証せよ。

不定積分は原関数を見つける。定積分は符号付きの蓄積量を測るものであり、幾何学的な面積とは異なる可能性がある。連続な被積分関数については、微積分の基本定理 が定積分と、その限界における原関数の値の差を結びつける。

• 不定積分 には限界がなく、積分定数 が必要である : $\displaystyle\int x^n\,dx = \frac{x^{\,n+1}}{n+1} + c$ for $n \neq -1$ .
• 定積分 には限界があり、数値を与える: $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.
• 置換積分 は連鎖律の逆演算である。
• ⚠ 不定積分において $+c$ を忘れることは、 このモジュールで最も頻繁に失われる点数であり、他では正解できた問題でも失われる。

** worked example.** 負の面積と正の面積は相殺し得る

既知: -1 から 1 までの $f(x)=x$ 。定積分は zero である。なぜなら、負の寄与と正の寄与が相殺するためである。

幾何学的な面積を求める場合は、2つの三角形領域の絶対値を加算する。

オリジナル練習シート 3.2 を用いて、解答に対して手法、定義域、解釈を検証せよ。

• 最適化 は量の最大値または最小値を見つける: その量を 指定された実現可能な定義域において単一の変数の関数として書き、微分して候補を探し、必要な極値を正当化せよ。関連する境界値や整数制約が含まれているか確認せよ。
• 変化の割合 は連鎖する: $\dfrac{dV}{dt} = \dfrac{dV}{dr} \times \dfrac{dr}{dt}$ 。
• 2つの曲線の間の面積 は $\displaystyle\int_a^b (f(x) - g(x))\,dx$ であり、ここで $f$ はその全区間で上位にある曲線である。順序が変わる交差点で分割せよ。
• 限界費用と限界収益 は、指定された連続的な費用モデルと収益モデルの導関数である。これらは瞬時の勾配であり、自動的に正確な離散単位の増減量ではない。

** worked example.** 固定された周長により、面積が1つだけ変数となる

既知: 長方形の周長は 20 なので、長さ＋幅＝10 である。幅を x とし、長さは $10-x$ であり $0<x<10$ である。

停留点の候補は $x=5$ である。$A''(x)=-2<0$ が zero となり、かつ面積が定義域の両端で zero に近づくため、この候補は全体的な最大値である。これは 5×5 の正方形であり、面積は 25 である。

オリジナル練習シート 3.3 を用いて、解答に対して手法、定義域、解釈を検証せよ。