GAC010 数学II：確率、統計および金融

安価な単価が必ずしも安価な総額を生むとは限らず、大規模な調査が必ずしも代表的な結果をもたらすとは限りません。数学IIでは、明示的なルール、計算、証拠の範囲を用いて、このような問いを考察します。

GAC010は数列、金融、確率、統計をカバーしています。貴センターの現在の要項が評価課題、配点、ツール、締切日を決定します。テスト、プロジェクト、試験、** coursework（授業内課題）**には異なる指示が使われることがあります；これらの元の実践用シートは公式な形式や大学での単位認定を確立するものではありません。

既知のデータ、なぜその数式が適用されるか、記号による方程式、および代入を示してください。単位を明記し、結果を解釈してください。統計的要約は、定義された一連の観察値や指定されたモデルを記述するものであり、自動的に因果関係や全人口に関する結論を導き出すものではありません。

例示におけるすべての金額、レート、手数料、支払いルールは、教育用の架空の設定です。実際の税金や貸出ルールと推測するのではなく、提示された時期切り上げ・切り下げの仮定に従ってください。

数列とは順序付けられた数のリストであり、級数とはそれらの和です。

等差数列は、各ステップで一定の共通公差 $d$ を加算します。A 等比数列は、一定の共通公比 $r$ で乗算します。

• 和は $S_n = \tfrac{n}{2}\left(2a + (n-1)d\right)$ および $S_n = \dfrac{a(1 - r^n)}{1 - r}$ です（ $r \neq 1$ の場合）。
• $|r| < 1$ を持つ等比級数は、無限和 $S_\infty = \dfrac{a}{1-r}$ を持ちます。
• 個々の項と合計を区別してください。ある金融モデルは等比的に複利計算を行う一方、他のモデルは単利やキャッシュフローを使用します。指定されたルールに合ったモデルを選択してください。

** worked example（演習問題）.** 行の個数が一定量だけ増えています

既知：行の個数は4, 7, 10であり、同じ差で続きます。したがって $a=4$ および $d=3$ です。5番目の行については：

最初の5行全体に対しては、5番目の項ではなく等差級数の和を使ってください。

実践シート 2.1 は、解付きで段階的に難易度が上がるセットを提供します。

この単元は、日常の arithmetic（計算）を英語で扱います。

• 総給与（Gross pay） は賃金総額であり、手取り（Net pay） は 税金や保険などの 控除 が差し引かれた後の金額です。
• 単利（Simple interest） は $I = Prt$ — 元本に対するみずからの利息です。
• 複利（Compound interest） は $A = P(1+r)^n$ — 利息に対する利息であるため、 等比的（geometric）になります。
• 減価償却（Depreciation） は記録価値の減少です。一定パーセントモデルでは $V_n=V_0(1-r)^n$ を使用しますが、他の減価償却基準では異なるルールが使われることがあります。
• 20%の割引は 0.8 を乗算します。20%と10%の連続した割引は $0.8 \times 0.9 = 0.72$ を乗算することになり、30%の割引ではなく28%の減少となります。

** worked example（演習問題）.** 平常時間と残業時間を分別して計算

既知：平常時間8時間（時給20）、残業時間2時間（時給の1.5倍）。給与を足し合わせる前に2つのカテゴリを分離してください。

架空の固定控除額が15の場合、それを総給与から一度差し引きます。

実践シート 2.2 は、解付きで段階的に難易度が上がるセットを提供します。

• 指定された一定割引率と時期の仮定の下で、将来の金額の 現在価値（Present value） は以下の通りです： $PV = \dfrac{FV}{(1+r)^n}$.
• 年金（Annuity） は、所定の期間に指定された支払が行われます。返済スケジュールは、 amounts（金額）が変化したり最終支払額が調整されたりする場合もあります；利息が支払より前か後かを明記してください。
• APR というラベルは年率の指標ですが、その計算方法に含まれる料金は指定された基準に依存します。このシートでは、未定義のAPR基準ではなく、明示的に定義された期間レートを使用しています。
• ⚠ 名目利率12%（月利1%）の場合、有効年率成長率は $(1.01)^{12}-1\approx12.68\%$ です。異なる複利の頻度や手数料スケジュールでは、異なる計算が必要です。

** worked example（演習問題）.** 利息を先に計算してから支払う、その順

既知：期首残高1000、期間レート2%、期末支払300。この指定された基準では利息が支払より先になります。

次の期間の利息は、元の元本ではなく720に基づいて計算されます。

実践シート 2.3 は、解付きで段階的に難易度が上がるセットを提供します。

確率は、事象が起こる可能性を0から1までのスケールで計測します。

• 同様の確率を持つ結果に対しては、$P(A) = \dfrac{\text{favourable outcomes}}{\text{total outcomes}}$。
• 事象が 排反（mutually exclusive） とは、両方が同時に起こり得ないことを指します：$P(A \text{ or } B) = P(A) + P(B)$。
• 事象が 独立（independent） とは、片方が他方に影響を与えないことを指します：$P(A \text{ and } B) = P(A) \times P(B)$。
• 補則（Complement rule） $P(\text{not } A) = 1 - P(A)$ は、 "少なくとも1つ"を含む答えへの最も迅速な道筋となることが多いです。
• 数え方（Counting techniques） は分母を提供します：順列（Permutation） は順序付きの選択を数え、組合せ（Combination） は順序無しの選択を数えます。 選び方において、**組合せ（combination）**は順序を問わないものとして数える。

条件付き確率は $P(B)>0$ に対して $P(A\mid B)=P(A\cap B)/P(B)$ です。和集合から重複分を引くと: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ 。提供された表における相関は、それだけでは因果関係を証明しません。

** worked example（演習例）。** 2回目の引き出しは1回目の結果に依存します。

既知: 赤玉2個、青玉1個、取り出しなしで2回引き出します。赤が2個出るには、赤→赤の経路をたどり、その条件付き確率をかけ合わせます。

1回目に青が出れば残りは赤のみとなり、青→青の経路の確率はゼロです。引き出しは独立していません。

練習シート 2.4 は、解付きで段階的に難易度が上がる問題群を提供します。

• 母集団（population） は記述したい対象全員を指し、標本（sample） は実際に 測定・調査した対象です。
• 母集団への一般化には、適切に代表性のある標本が必要であり、選出方法や非回答の正確な説明も不可欠です。クラス内調査はそのクラスについて記述することはできますが、学校全体の割合を特定するものではありません。
• 質的データ（qualitative data） はカテゴリー（分類）であり、量的データ（quantitative data） は量を測るもので、 either 離散型（discrete）（数える）か 連続型（continuous）（測る）のいずれかです。 離散型（discrete）（数える）か 連続型（continuous）（測る）のいずれかです。
• バイアス（バイアス） は、誰に質問するか、誰が回答するか、そして質問の措辞によって生じます。単なる計算だけでは、欠損や系統的に選ばれた観測値の補正はできません。

** worked example.** 棒グラフの高さが等しい場合でも、頻度は異なっている可能性があります

既知：クラス0〜10の頻度は20、クラス10〜30の頻度は20です。幅が異なるため、頻度密度を計算する必要があります。

The second bar is half as high but twice as wide. Both areas represent 20 observations.

練習シート 2.5 は、解付きで段階的に難易度が上がる問題群を提供します。

不等幅ヒストグラムのクラスでは、棒の面積が頻度を表すように、高さは「頻度 ÷ クラス幅」とします。カテゴリは別々の棒で、数値的な連続区間はヒストグラムで表示してください。

• 平均値（mean） は総和を個数で割ったものです。すべての値、および外れ値のすべてを使用します。
• 中央値（median） は並べ替えた際の真ん中の値です。極端な値を変えても並べ替えられた中央の値が変わらなければ、中央値自体も変わりません。
• 最頻値（mode） は最も頻度の高い値であり、数値スケールを強制的に課さずに最も頻度の高いカテゴリーを特定できます。分布には複数の最頻値がある場合や、一意の最頻値がない場合があります。
• ⚠ 質問に対する要約を選択してください。極端な値が高い場合、平均値は中央値より大きくなることがあります。平均値は依然として各観測値あたりの総量を表しており、中央値は並べ替え後の真ん中の位置を示します。どちらも「多くの観測値がそれ自身と等しい」ことを意味するものではありません。

** worked example.** グループサイズが合同平均に影響を与える

既知：グループAは平均60の点数10個、グループBは平均75の点数20個です。統合する前に各グループの総和を取り戻してください。

60と75の単純平均は67.5になりますが、これは不等な個数無視します。

練習シート 2.6 は、解付きで段階的に難易度が上がる問題群を提供します。

• 範囲（range） は最大値から最小値を引いたもの——全範囲なので、極端な値がこれに大きな影響を与え得ます。
• 四分位範囲 (IQR) は、指定された四分位数の定義に従い中央半分を覆う差 $Q_3-Q_1$ です。箱ひげ図 は四分位数と中央値を示し、ひげの規則も明記する必要があります。
• 標準偏差（standard deviation） は平方偏差を用いてばらつきを要約します。完全な母集団の場合、次に使用します： $\sigma=\sqrt{\sum(x-\mu)^2/n}$。標本の推定値は、その慣例に従って $s=\sqrt{\sum(x-\bar x)^2/(n-1)}$ を使用します。分散は二乗単位を持ち、標準偏差は元の単位を持ちます。
• 標準偏差が大きいほどばらつき范围广いです。2つのデータセットは平均値を共有しても、完全に異なる状況を説明することがあります。 完全に異なる状況を説明することがあります。

** worked example.** 各観測値ではなく5数要約を読む

既知の5数要約：最小値2、$Q_1=4$、中央値6、$Q_3=8$、最大値12。全体範囲と中央半分の範囲は異なります。

箱は、すべての元の値、サンプルサイズ、またはばらつきの原因を特定するものではありません。

練習シート 2.7 は、解付きで段階的に難易度が上がる問題群を提供します。

シート2.7については、四分位数は並べ替えた半分のリストの中央値です。奇数の個数の場合は全体中央値を除きます。ひげは最小値と最大値まで伸びます。この慣例をソフトウェアによる補間された四分位数や外れ値境界のひげと混同しないでください。

• 正規分布（normal distribution） は、平均値と正の標準偏差によって指定される、連続的で対称的な釣鐘型のモデルです。これら2つの要約情報だけでは、観測データがこのモデルに従うことが保証されません。
• 正規モデルの下では、経験則（empirical rule）のおおよその値は次の通りです：値のおよそ68%が平均値から1標準偏差以内、95% およそ2標準偏差以内、99.7%が3標準偏差以内に存在します。
• zスコア（z-score） は、ある値が平均値から何標準偏差離れているかを示します： $z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}$、これが異なるスケール同士を比較可能にする理由です。

正規モデルでは、累積面積 $\Phi(z)=P(Z\leq z)$ と対称性 $\Phi(-z)=1-\Phi(z)$ を使用します。区間は2つの累積境界を引くことで求めます。期待値はサンプルサイズ × 確率であり、整数である必要はありません；観測値は整数です。

** worked example.** 閾値は標準化された値を超える領域である

既知：架空の計量モデルは $\mu=50$ と $\sigma=10$ を持っています。60を超える値に対して、閾値を標準化してください。

提供された累積面積の補集合（complement）を使用します。

これはモデル上の確率であり、有限サンプルのちょうど15.87%が60を超えるという保証ではありません。

練習シート 2.8 は、解付きで段階的に難易度が上がる問題群を提供します。