追加練習：解説付き解答の付いた4問
このパックは、GAC004 Math I の3単元の練習を追加する。算数の復習（シート 1.1）、初歩的な代数（シート 1.2）、幾何学（シート 1.4）を網羅する。問題は基本計算、代数的手法、平面幾何学の練習である。GAC004 配布物およびその練習シートと併用して使用すること。
これはオリジナルの練習材料である。センターの評価指示を変更するものではなく、公式試験問題でもない。
「Practice questions」の質問にまず答えよ。解法整个过程を完全に記せ。その後、最終的な数値だけでなく、各解説付き解答との間で自分の解法過程を比較せよ。明確に記述された解法過程は、長いレポートよりも推論をよりよく示す。
各解答は同じ構造を持つ：既知の情報、なぜその法則が適用されるか、法則を記号で表したもの、そして数値。各行に1つの計算段階がある。最後に検証を行うが、これは解答の一部であるため、新しい用紙で実際に実行してみること。
| 問題 |
シート |
練習内容 |
| Q1 |
1.1 |
連続する2回の価格変動 |
| Q2 |
1.1 |
増分の元に戻す |
| Q3 |
1.2 |
負の数で割る |
| Q4 |
1.4 |
長さから面積へ |
練習問題
これらにまず答えよ。先を見ないこと。
Q1. 200 ユニットの価格が 10% 上昇し、その後 10% 低下する。
- 最終価格を求める。
- なぜ最終価格が 200 ユニットでないかを説明せよ。
Q2。 20%の増後、ある数値は84となる。元の数値を求めよ。
Q3。 $9-2x\le3$を解け。解答を数直線上に示せ。
Q4。 2つの相似形モデルの長さ比は$3:5$である。小さい方のモデルの表面積は$36\ \text{cm}^2$である。大きい方の表面積を求めよ。
worked answers（解説付き解答）
Q1の解答：各変化は現在の価格を用いる
既知：$P_0=200$個、上昇$r=10\%$、下降$r=10\%$。各百分率は現在の価格に基づく。したがって、各段階で乗数を適用する。
上昇の式を記号で表すと：
$$P_{new}=P_{old}(1+r/100)$$
$$P_1=P_0(1+r/100)=200(1+10/100)=220$$
下降を記号で表すと：
$$P_{new}=P_{old}(1-r/100)$$
$$P_2=P_1(1-r/100)=220(1-10/100)=198$$
最終価格は$\mathbf{198}$個である。
なぜ200ではないのか？ 2つの乗数はCombined multiplier（統合乗数）を形成する：
$$\frac{P_2}{P_0}=(1+r/100)(1-r/100)$$
$$\frac{P_2}{P_0}=(1+r/100)(1-r/100)=(1+10/100)(1-10/100)=0.99$$
したがって、最終価格は初期価格の$99\%$分を維持している。全体での損失は$1\%$であり、ゼロではない。
上昇と下降も異なる金額から始まっている：
$$\Delta_{rise}=P_1-P_0=220-200=20$$
$$\Delta_{fall}=P_1-P_2=220-198=22$$
10% of 220 は 10% of 200 より大きい。下降が取り除く量は、上昇が加えた量より多い。
確認：全体での損失は初期価格の$1\%$である。
$$1-0.99=0.01$$
$$P_0\times0.01=200\times0.01=2$$
$$P_0-P_2=200-198=2$$
どちらも2個となるため、2つの確認は一致する。
Q2の解答：増分を割り算で逆算する
既知：新しい数値$N=84$、増分$r=20\%$。増分は元の数値に$1+r/100$を掛けた結果である。百分率の変化を逆にするには、この乗数で割る。同じ百分率を引いてはいけない。
増分の式を記号で表すと：
$$N=P_0(1+r/100)$$
元の数値について整理すると：
$$P_0=\frac{N}{1+r/100}$$
代入：
$$P_0=\frac{N}{1+r/100}=\frac{84}{1+20/100}$$
倍率を求めよ：
$$1+\frac{r}{100}=1+\frac{20}{100}=1.2$$
割る：
$$P_0=\frac{N}{1+r/100}=\frac{84}{1.2}=70$$
元の数値は $\mathbf{70}$ である。
逆算の検証：増加分を再度計算して確認する。
$$N=P_0(1+r/100)=70(1+20/100)=84$$
元の 70 が指定された 84 を生み出すため、答えは正しい。
罠：新しい数値の 20% を引き算すること。
$$84-84\times0.20=67.2$$
それは誤りである。増加量は 70 に基づいて計算され、84 に基づいて計算されたわけではない。
Q3 の解答：解き、両側を確認する
既知条件：不等式 $9-2x\le3$ 。方程式のように解く。負の数で割ると 不等号の向きが反転 する。
両辺から 9 を引く：
$$9-2x\le3$$
$$-2x\le3-9$$
$$-2x\le-6$$
両辺を $-2$ で割り、符号を反転させる：
$$x\ge\frac{-6}{-2}=3$$
解答は $x\ge3$ である。
境界点 の検証： $x=3$ において両辺は等しい。
$$9-2x=9-2(3)=9-6=3$$
したがって 3 は含まれる。数直線では 3 に 閉じた円 を描き、右側に塗る。
内部の検証： $x=4$ 。
$$9-2x=9-2(4)=9-8=1\le3$$
真（True）。
外部の検証： $x=2$ 。
$$9-2x=9-2(2)=9-4=5>3$$
偽（False）。両方の検証とも $x\ge3$ と一致する。
Q4 の解答：長さから面積へ
既知：長さ比$3:5$；より小さい表面積$A_s=36\ \text{cm}^2$。$k$を小さな長さ$L_s$から対応する大きな長さ$L_L$へのスケール因子とする。各面積は2つの長さの积である。したがって、面積は$k$の二乗でスケールされる。
2つの領域の間の一般的な関係：
$$\frac{A_L}{A_s}=k^2$$
長さの比から縮尺係数を求める：
$$k=\frac{L_L}{L_s}=\frac{5}{3}$$
面積の比：
$$\frac{A_L}{A_s}=k^2=\left(\frac{5}{3}\right)^2=\frac{25}{9}$$
大きい方の面積について式を整理する：
$$A_L=A_s k^2$$
代入：
$$A_L=A_s k^2=36\times\frac{25}{9}=100$$
大きい方の表面積は $\mathbf{100}\ \text{cm}^2$ です。
比の確認：
$$\frac{A_L}{A_s}=\frac{100}{36}=\frac{25}{9}$$
$$k^2=\left(\frac{5}{3}\right)^2=\frac{25}{9}$$
面積の比 $25:9$ は、長さの比 $5:3$ の二乗です。面積だけが $\frac{25}{9}$ で拡大されます。長さは $k=\frac{5}{3}$ で拡大されます。
今後のアクション
- 練習用紙 1.1、1.2、1.4 にあるマッチング演習を試してください。
- 新しい写しで、すべてのチェックを自分自身で行ってください。
- 自身の解法が異なったステップを記録し、その後別の問題に挑戦してください。
チェック付きの明示的な解法は論理を明確に示しますが、単なる数字だけではそれができません。
