熱力学、放射、振動および宇宙論

アイスパックから星へ

アイスパック、揺れる橋、遠くの星はいずれもエネルギーに関わる。この単元では、分子運動、核変換、振動、天文学的観測を結びつける。課題は単に数値を計算することではなく、主張を検証することであることが多い。モデルを明記し、計算中に単位を維持したまま、結果を主張と比較すること。

WPH15 covers statements 125–171 of Pearson Issue 3. It also uses Units 1, 2 and 4. Work through sheets 5.1–5.9 before their matching authentic sets. Use the supplied constants consistently: $g=9.81\ \mathrm{m\,s^{-2}}$, $k_B=1.38\times10^{-23}\ \mathrm{J\,K^{-1}}$ and $G=6.67\times10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}}$ unless the question gives a different local value. Here $k_B$ is the Boltzmann constant; $k_s$ denotes a spring constant.

加熱、相転移およびサーミスタの較正

温度だけでなくエネルギーの軌跡を追う

内部エネルギーとは、分子のランダムな運動と相互作用における全エネルギー（ランダムな運動エネルギー＋分子間ポテンシャルエネルギー）を指します。物体全体が一方向に動く運動エネルギーは含まれません。温度は平均的なランダムな分子運動エネルギーに関係しており、内部エネルギーの総量ではありません。同じ温度にある2つの試料でも、その量や状態が異なれば内部エネルギーも異なります。

Specific heat capacity $c$ is the energy needed per kilogram for a one-kelvin temperature rise without a change of state. Specific latent heat $L$ is the energy transferred per kilogram during a particular change of state at constant temperature.

$1\ ^\circ\mathrm C$の温度差は$1\ \mathrm K$の温度差に等しいです。気体法則や放射法則における絶対温度はケルビン単位を使用します。融解や沸騰中、理想的な定圧相転移では温度は一定のままですが、エネルギーは分子配置とポテンシャルエネルギーを変化させます。アイスパックは融解する際に食品や周囲からエネルギーを吸収します。「冷たいエネルギー」を食品に送るわけではありません。

一定の加熱出力条件下で、熱損失が無視できる場合、温度-時間グラフの勾配が急であるほど$mc$は小さくなります。平坦な部分はエネルギー移動が停止したことを意味しません。ヒーターの場合、入力エネルギーは$E_{\rm in}=Pt=VIt$です；環境へ逃げるエネルギーがあるため、有用な熱エネルギーはそれより小さくなることがあります。

** worked example（例題）。** $-10\ ^\circ\mathrm C$の氷からなる$0.40\ \mathrm{kg}$kgのブロックが、$0\ ^\circ\mathrm C$の水になる。$c_{\rm ice}=2100\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}$と$L_f=3.4\times10^5\ \mathrm{J\,kg^{-1}}$を用いて解け。

既知：質量、初期/最終温度、材料定数。理由：固体を暖めることと融かすことは別々のエネルギー移動です。

** worked example（例題）。** $600\ \mathrm s$のうちに$0.20\ \mathrm{kg}$kgの水を沸騰させ、蒸発させるための$1000\ \mathrm W$Wヒーターがある。効率を$L_v=2.26\times10^6\ \mathrm{J\,kg^{-1}}$を用いて求めよ。

For repeated kettle loads, calculate total water volume, number of loads and total operating time. Compare energies over the same stated interval. Standby loss over a day and input needed to boil water are different quantities; state what a particular comparison actually establishes.

CP12: サースタットを較正する

サーミスタは、抵抗が温度に応じて変化する素子です。一般的な負の温度係数（NTC）サーミスタは、加温すると抵抗が減少します。電圧分割回路において:

サーミスタを下部の抵抗器として配置し、その両端で出力を測定する場合、加温すると出力電圧は低下します。抵抗器の位置を入れ替えるとこの傾向が逆転します。サースタットは選んだ出力閾値でスイッチングしますが、単なる分圧回路だけでは完全なスイッチング装置ではありません。

コア実験12については、サーミスタと参照温度計を攪拌された水浴内で互いに近接させて配置します。電気的接点は乾燥させ、絶縁してください。想定範囲内の複数の温度において、熱平衡に至るまで待ってから、温度と分圧回路の電圧を記録してください。電源電圧と固定抵抗器は変更しないでください。ローディングを低減するため、高入力抵抗のボルトメータを使用してください。出力を温度に対してプロットし、選択したスイッチング温度に対する電圧を補間してください。読み取りを繰り返したり、昇温/降温を比較したりして滞后現象を明らかにしてください。証拠がない限り直線的な較正を仮定しないでください。低温の電力を使用し、湯傷に注意してください。

CP13: 潜熱を測定する

相転移中に材料に測定した電気出力を供給します。条件が安定した後、一定時間の間に溶けたまたは蒸発した質量を測定します。天平で質量の変化を測定します；収集された液体の体積と質量を混同しないでください。損失補正なしでは、$L=VIt/\Delta m$は supplied energy がすべて相転移に使われたと仮定します。

有用な補正法として、同じ定常相転移温度で2つの出力を比較します。もし熱損失出力がほぼ一定であれば、2つの測定値を引くことでそれを除去できます：

一定損失の仮定を述べる。ヒーターなしでの融点測定による補正も、適切な氷実験では可能である。安全な範囲で断熱材を用いて熱損失を減らし、飛散、高温面、不安全な電源接続を避ける。

理想気体と分子運動エネルギー

ケルビンと理想気体モデル

絶対零度は $0\ \mathrm K$ で、約 $-273\ ^\circ\mathrm C$ である。これは熱力学的温度の下限である。古典的な理想気体モデルにおいて、平均並進運動エネルギーは温度がゼロに近づくにつれてゼロに漸近する。実際の気体はその外挿前に凝縮するため、あらゆる実在物質の分子が可能なすべてのエネルギーを失うとは主張しない。

絶対温度はケルビンで測定される： $T=\theta_{^\circ\mathrm C}+273$ の精度を通常ここで用いる。 理想気体は、無視できる体積を持ち、弾性衝突時以外に分子間力がなく、ランダムな運動をする粒子からなる。圧力は壁面での運動量の変化によって生じる。

ここで $N$ は物質量（モル）ではなく、分子数を指す。圧力はパスカル、体積は立方メートル、温度はケルビンを使用する。分子数が一定の場合：

体積一定では圧力はケルビン温度に比例する。温度一定では $pV$ は一定である。ゲージが大気圧に対する相対圧力を示している場合は、外部圧力を加算する。

計算例。 剛体 $2.0\times10^{-3}\ \mathrm{m^3}$ 容器に $1.0\times10^5\ \mathrm{Pa}$ および $300\ \mathrm K$ の気体が含まれている。 $N$ と、 $360\ \mathrm K$ に暖めた後の圧力を求めよ。

1分子の質量が$m_0$の場合、全ガス質量は$Nm_0$となる。球体については、まず$V=4\pi r^3/3$を求めよ。半径は直径の半分である。

分子エネルギー関係式の導出

運動論的圧力関係式は $pV=\tfrac13Nm_0\langle c^2\rangle$ であり、 $\langle c^2\rangle$ は 平均二乗速度 である。これは壁面での弾性運動量変化と、3つの直交方向における等しい平均二乗運動に基づく。 Root Mean Square (RMS) 速度 は $c_{\rm rms}=\sqrt{\langle c^2\rangle}$ であり、平均速度の二乗ではない。

辺長 $l$ の立方体において、速度成分 $c_x$ を持つ分子1個が弾性衝突を行うたびに壁面の運動量を $2m_0c_x$ 変化する。その分子が同じ壁面へ戻るまでの時間は $2l/c_x$ である。したがって、その平均力は $m_0c_x^2/l$ となる。分子について総和を取り、壁面積 $l^2$ で除す：

ランダムな運動は直交する方向に均等に分布するため、 $\langle c^2\rangle=3\langle c_x^2\rangle$ となる。これにより上記の圧力関係式が得られる。 $pV$ に関する2つの表現を等置し、 $N$ を消去して変形する：

At one temperature, different gas species have equal mean translational kinetic energies, but lighter molecules have greater RMS speeds. If speed doubles at the same temperature, molecular mass is one quarter. Heating increases average molecular kinetic energy; it does not give every molecule the same speed.

CP14: 温度一定における圧力と体積

圧力センサーに接続されたシリンジまたは校正済み円筒内に一定量の気体を封入する。校正を確認し、絶対圧力を使用する。接続チューブのデッドボリュームが大きい場合は含める。体積を徐々に変化させ、各変化後に温度が周囲と同じになるまで待ってから、複数の圧力-体積ペアを記録する。気体の漏れを防ぐ。 $p$ を $1/V$ に対してプロットしたグラフは、誤差範囲内で原点を通る直線となるべきである。 $p$ – $V$ の曲線は直線ではない。過度な圧力や接続の確保を心がけよ。急激な圧縮は気体を加熱させ、意図した定温条件を破る。

結合エネルギー、核分裂および核融合

質量欠損はエネルギー差である

原子核は $Z$ 個の陽子と $A-Z$ 個の中性子からなる。その質量は、これらの自由な核子全体の質量より小さい。この 質量欠損 は、原子核を完全に自由な核子に分離するために必要な 結合エネルギー に相当する：

ここで $c_0$ は光速であり、比熱とは区別される。 統一原子質量単位 は $1\ \mathrm u=1.66\times10^{-27}\ \mathrm{kg}$ である。差を計算する前に、すべての質量を同じ単位に変換すること。核の質量と中性原子の質量は、電子の影響を一貫して考慮しない限り交換できない。問題で実際に与えられた質量を使用すること。

** worked example（演習例）。ある核には質量欠損が $0.030\ \mathrm u$ あり、 $A=4$ が存在する。核子あたりの結合エネルギーを求めよ。

融合反応と分裂反応の両方がエネルギーを放出できる理由

核子あたりの結合エネルギー曲線は、軽核では急激に上昇し、鉄/ニッケル付近でピークに達した後、重核では緩やかに減少する。核子あたりの結合エネルギーが大きいほど、一般に核子はより強く束縛されていることを意味する。点を比較する際は、単なる質量数ではなく、縦軸の値が重要である。

核融合反応 は軽核を結合させる。 核分裂反応 は重核を较小的な生成物（通常は中性子を含む）に分割する。生成物の総結合エネルギーが反応物より大きく、かつ総静止質量が小さい場合にエネルギーが放出される。反応においては、核子あたりの値の差だけでなく、総質量差を計算すること。全エネルギーは保存される。

融合反応では、静電斥力にもかかわらず核子が接近するための十分な運動エネルギーを得るために非常に高い温度が必要であり、十分数の近接衝突を生み出しエネルギー放出を維持するために高い密度や閉じ込めが必要である。温度と密度は異なる役割を果たす。「高圧」という言葉だけを述べるだけでは、斥力を克服する説明にはならない。

放射線、背景放射線および崩壊

相互作用に基づいて放射線を選択する

アルファ線 はヘリウム核からなる：強いイオン化能力を持ち、射程が短く、紙や空気数センチメートルで遮断される。 ベータ線 は電子または陽電子からなる：イオン化能力は弱く、透過性が高く、一般的にアルミ箔数ミリメートルで遮断される。 ガンマ線 は電磁波である：イオン化能力は弱く、透過性は高い；鉛やコンクリートは強度を低減させるが、明確な遮断厚さを提供するわけではない。

雲室において、アルファ線の軌道は強いイオン化のため太く、粒子の質量がベータ線に比べて大きいため比較的直線的である。ベータ線の軌道は細く、より容易に偏折する。これらの説明を混同しないこと。ベータ線は紙の厚さ計測に使用できる。一部は透過し、一部は吸収されるため、厚さの変化は透過カウント率の変化となる。

核方程式 では、核子数と電荷数を保存する。ベータマイナス崩壊では中性子が陽子に変換され、質量数は変わらず、原子番号が1増える。必要に応じて反ニュートリノを含めること。Unit 4 のように。

アルファ崩壊では $A$ が4減り、 $Z$ が2減る。ガンマ線放出では $A$ も $Z$ も変化しない。核方程式はこれら2つの数値だけでなく、エネルギーと運動量も保存される。

モデル適用前に正しい背景放射線を処理する

背景放射線 は岩石、宇宙線、環境などから来る。テスト源がない状態で十分に長い時間測定する。すべての「源＋背景」読み取り値から背景放射線のカウント率を差し引く。カウント時間の単位を一貫させる。補正された検出器のカウント率は、幾何学的配置と検出効率が変わらない場合にのみ源の活度に比例する。必ずしもベクレル単位の活度ではない。

** worked example（例題）。** 検出器は距離$r$で$62\ \mathrm{min^{-1}}$を読み取るが、背景放射$14\ \mathrm{min^{-1}}$を含む。吸収無視できる小さな等方性ガンマ線源について、$2r$での総カウント率を予測せよ。

背景放射線を4で割らないこと：テスト源からのものではない。

確事象と予測可能な集団

Radioactive decay is spontaneous: an unstable nucleus decays without an external trigger. It is random: the exact time for an individual nucleus cannot be predicted. A large population has a predictable statistical decay pattern. Activity $A$ is the number of decays per second, measured in becquerels, $1\ \mathrm{Bq}=1\ \mathrm{s^{-1}}$.

崩壊定数 $\lambda$ は、核が崩壊する単位時間あたりの確率である。 半減期 $t_{1/2}$ は、未崩壊集団、あるいは活度が平均して半分になるまでの時間である。

半減期が$N/N_0=1/2=e^{-\lambda t_{1/2}}$のとき、対数を取ると：

対数-活動度-時間グラフの傾きは$-\lambda$である。補正されたカウント率の対数をとり、放射源と背景の和の読み取り値を用いてはいけない。グラフから複数の半減期間を読み取り平均する。ゼロ合計カウントではなく、補正された活動度のレベルから測る。

** worked example.** 放射源の半減期は$3.0\ \mathrm{years}$である。活動度が初期値の$2.0\%$になるのはいつか？

対数の内部に$2.0$を使用せず、分数を使用せよ。放射性放射源からの出力を計算する場合、$P=A E_{\rm decay}$（崩壊ごとのエネルギーはジュール単位）を用いる。これは放出される核出力であり、有効な電気出力はこれより小さい場合がある。 activity がベクレル単位で必要なら、半減期を秒に変換せよ。

CP15: 鉛によるガンマ線吸収

放射源、遮断材、検出器を固定位置に保つ。背景を測定し、その後、総铅厚をいくつか変化させて等しい既知の時間間隔のカウントを測定する。カウントが変動するため、測定時間を繰り返すか延長せよ。透過性を比較する前に背景率を差し引く。各等しい厚さが同じ分率減少を与える場合、減衰は指数関数的であり、対数補正率対厚さのグラフはほぼ直線となる。3つの半価層は$1/8$を透過させ、$1/3$ではない。

物質吸収定数は、放射源の時間減衰定数とは異なる。背景に近すぎる読み取りを避け、差引きによって相対不確実性が大きくなることを避ける。指定された器具を使用して監督下で放射源を取り扱い、距離を保ち、曝露時間を最小限に抑え、遮蔽装置に戻す。放射源に触れたり、人を向けてはいけない。鉛の取扱いは清潔に行い、手を洗うこと。

単振動、グラフとエネルギー

復元条件

単振動 (SHM) は、合加速度が一定の平衡位置からの変位に比例し、その方向に向かう場合に生じる：

負符号は復元の方向を示す。一定速度、反復のみ、または力が単に中心に向かうだけでは、SHMを成立させるものではない。垂直に吊り下げられたスプリングの場合、荷重付きの平衡位置から$x$を測定する。重力はすでにここで釣り合っているため、変位に対する合力は$-k_sx$である。

$t=0$における正の変位の最大値から離す場合：

ここで$A_0$は放射性活動ではなく振幅である。位相は選んだ開始時間に依存し、別の原点で正弦の変位も同じ運動を記述できる。図形的に微分すると、変位-時間の勾配は速度であり、速度-時間の勾配は加速度である。最大変位では速度はゼロで加速度は平衡位置に向かう。平衡位置では速度が最大で加速度はゼロである。

** worked example.** グラフは振幅$0.030\ \mathrm m$と周期$0.50\ \mathrm s$を示している。最大速度と加速度を求めよ。

alternatively、平衡位置における変位グラフの接線から最大速度を求めることもできる。センチメートルをメートルに変換せよ。負の直線$a$–$x$の勾配は$-\omega^2$であるため、平方根を取る前に負の値をとる。

周期とエネルギー

理想スプリング上の質量および小角度での単振り子について：

振り子の長さは支点から玉の中心までである。小角度の周期は玉の質量に依存しない。一様なスプリングの周期比は$T_2/T_1=\sqrt{m_2/m_1}$となる。追加質量を求める前に総新しい質量を使用せよ。

** worked example.** $0.50\ \mathrm{kg}$質量の周期は$0.80\ \mathrm s$である。同一のスプリングに追加質量を載せると、周期は$1.00\ \mathrm s$になる。

減衰のないスプリング振動子では、エネルギーは弾性ポテンシャルと運動エネルギーの間でやり取りされる：

したがって、$E_k$–$x$ グラフは逆放物線となり、$\pm A_0$ でゼロ、$x=0$ で正の最大値をとる。$E_p$–$x$ グラフは上に開く。減衰のないモデルではその和は一定である。減衰系ではエネルギーが外部へ放出されるため振幅は減少する。環境を含む全エネルギーは保存される。

CP16: 共鳴から未知質量を推定する

同一のスプリング・支持系を用いる。既知の質量を複数取り付けて小振幅で駆動し、周波数を変化させて各質量に対する最大の定常振幅を見つける。共鳴周波数を記録し、各ピーク周辺をゆっくりと繰り返し測定する。減衰が小さい場合、それは固有振動数に近似する。$1/f^2$ を全既知質量に対してプロットすると、スプリングモデルから勾配 $4\pi^2/k_s$ が得られる。このキャリブレーションを用いて、未知の質量の共鳴周波数からその質量を推定せよ。

フックと、無視できない場合のスプリングの有効移動質量を考慮する。ゼロでない切片はこれらの寄与を表す可能性があります；妥当な理由がない限り原点通しとして直線を引かないでください。振幅は小さく、弾性限界以下に保つ。質量とスタンドを固定し、足元を確保する。自由振動の測定は有用な独立比較を提供するが、指定された実習では共鳴周波数を使用する。

強制振動、共鳴および減衰

自由振動とは、初期擾乱の後に周期的駆動力を継続させずに続く振動である。強制振動とは、周期的駆動力によって維持される振動であり、その定常周波数は駆動周波数である。固有周波数とは、規定された条件下での自由振動の周波数である。

共鳴とは、駆動周波数が固有周波数またはそれに近い場合に生じ、効率的なエネルギー伝達と大きな定常振幅を与えることである。「最大周波数」を意味するものではない。減衰が小さい系では、振幅のピークは減衰なし固有周波数に近い。減衰が大きくなるとピークは低くなり広くなる；すべての減衰ピークを正確に減衰なし固有周波数にあると提示しないでください。

減衰とは、抵抗仕事などを通じて熱エネルギーを増やすことで、減衰器や環境へ振動エネルギーを传出することである。強い減衰は危険な橋梁/建物の揺れを軽減できる。塑性変形も延性材料の機械的エネルギーを不可逆的に吸収する；純粋な弾性変形は蓄積エネルギーを戻すものであり、同じメカニズムではない。

** worked explanation.** 歩行者は橋に周期的駆動力を供給する。その周波数が固有周波数に近い場合、エネルギーは橋に効率的に伝わり振幅が増加する。減衰装置は運動に対して仕事をし、振動エネルギーを熱エネルギーへ传出するため、定常振幅は制限される。この順序で原因と結果を結び付け、「共鳴、エネルギー、減衰」と並べ列挙しないように注意。

同じ形状と振幅で、軽い振り子に質量を追加すると、小角度理想周期が変化しないままstored mechanical energy（蓄積力学的エネルギー）が増加する。同等の抵抗損失下では、サイクルあたりのエネルギー損失率が小さくなる。この文脈における減衰比較は、すべての重い振動子が必ずしも減衰が遅いことを証明するものではない。

重力場と軌道

場とポテンシャルは異なる意味を持つ

重力場 は、質量が力を受ける領域である。重力場の強さ $g=F/m$ は単位試験質量あたりの力である。孤立した源質量に向かうベクトルである。点質量または球対称源の外側に対するニュートンの法則は以下の通り：

$r$ は表面からの高さではなく中心間距離である。地球近傍の局所的な運動においては、一定の $g$ を適用するのが適当な場合もある。大きな半径方向の距離では一定ではない。

重力ポテンシャルとは、無限遠をゼロとした単位質量あたりのポテンシャルエネルギーである：

ポテンシャルはスカラー量であり、有限距離では負の値をとる。外側へ移動すればポテンシャルは負の値が小さくなり、位置エネルギーは増加するが、引力は弱まる。ポテンシャルグラフの値とそれに対応する半径から $M=-Vr/G$ が得られる。

重力と静電場は、孤立した点源に対してともに放射状であり、その力の大きさは逆二乗則に従う。重力は質量に働き、このモデルでは常に引力である。電気力は電荷に働き、引力または斥力となる。電場の方向は正のテスト電荷に働く力の向きに従い、負の電荷にはその反対方向に力が働く。

** worked example.** $1000\ \mathrm{kg}$衛星が地球の周りを半径$r_1=6.4\times10^6\ \mathrm m$から$r_2=1.28\times10^7\ \mathrm m$へ移動する際、$M=6.0\times10^{24}\ \mathrm{kg}$。ポテンシャルエネルギーの変化を求めよ。

正の符号は最終値から初期値を引いたものだが、これは総発射エネルギーではない。運動エネルギーも変化するためである。$mg\Delta h$が一定の表面$g$を持つ場合、この距離範囲では不適切である。

円軌道の導出

重力が内向きの合力として機能する：

軌道上の質量は約分される。周期は半径とともに増加する。回転する惑星の一点の上で静止して見えるためには、卫星は赤道円軌道上にあり、同じ回転方向を持ち、角速度／周期が一致している必要がある。周期が一致するだけでは不十分である。

** worked example.** $GM=4.00\times10^{14}\ \mathrm{m^3\,s^{-2}}$および周期$T=8.64\times10^4\ \mathrm s$の場合、静止軌道の半径を求めよ。

地表からの高さを問われた場合に限り、惑星の半径を差し引く。恒星の表面電場については、直径ではなく半径を使用する。地球の電場の何倍かという主張を検証するには、比を計算せよ。

恒星の放射、距離および進化

温度、光度および受光強度

黒体は入射するすべての電磁波を吸収し、理想的な熱放射体である。その連続スペクトルには特徴的な形状がある。温度が上昇すると、単位面積あたりの放射総力が増加し、波長ピークは短波長側へ移動する。スペクトル強度曲線下の面積は、適切なスペクトル軸の定義を用いた場合にのみ、放射総強度を表す。

光度 $L_\star$ は放射される全エネルギーである。照度 $I$ は距離 $d$ での受光面あたりのエネルギーである。半径 $R$ の球形黒体星が等方性放射をする場合：

最初の面積は放射表面であり、第二の面積は拡大する受光球面である。観測者の距離を恒星の表面面积に代入してはならない。実際の放射体は完全な黒体ではないこともあり、中間媒質が放射を吸収することもある。

ウィーン定数は、単位波長あたりのスペクトルを示すものである。単位周波数あたりプロットしたスペクトルの最大値は、単に$\lambda$を$c_0/f$に置き換えることで波長の最大値に変換されない。試験問題で指定された波長ピークに対応する周波数が与えられた場合、その波長を$c_0=f\lambda$を用いて変換せよ。特定のタスクの慣例をすべてのスペクトルプロットの一般則として適用してはならない。

** worked example.** 恒星の波長スペクトルが$580\ \mathrm{nm}$でピークに達し、半径が$7.0\times10^8\ \mathrm m$の場合、温度、光度、および距離$1.5\times10^{11}\ \mathrm m$での強度を求めよ。

第四乗に上げられるため、丸めていない温度値を使用すること。惑星の温度や放射出力に関する主張を受け入れる前に、与えられた基準値との照度を比較すること。

二つの距離測定法

三角視差法 は、地球が太陽の周りを公転する際に、遠方の背景星に対する近接星の視認的な角度のずれを測定する。6ヶ月間隔での観測には、地球公転半径の2倍の基底長さを用いる。視差角$p$は総ずれの半分である。$p$がラジアン単位で小さい場合、距離は$d\approx r_{\rm orbit}/p$となる。パーセックとは、視差が$1$角秒となる距離であり、$d_{\rm pc}=1/p_{\rm arcsec}$である。地球または太陽の直径を公転の基底として使用してはならない。

大きな距離においては、$p$は装置が正確に測定できるほど小さくなりすぎる。この制限は、星が見えないことではなく、角分解能または相対不確実性に起因する。

標準ろうそくとは、光度が既知の天体のことである。クラスター内でそれを見いだし、観測された強度を測定し、$d=\sqrt{L_\star/(4\pi I)}$を用いる。視亮度は事前に既知と仮定されるものではない。セフェイド変光星には、周期と光度の間に較正関係がある。複数の完全な光曲線の周期を測定し、その数で割り、較正表を注意深く読み取って、太陽光度単位があれば換算する。対数軸上の直線は、必ずしも元の quantities の間の線形関係を示すわけではない。

計算例。 標準ろうそくの光度は$L_\star=4.0\times10^{28}\ \mathrm W$、観測された強度は$2.0\times10^{-10}\ \mathrm{W\,m^{-2}}$である。

ヘールスプラング＝ラッセル図を読む

ヘールスプラング＝ラッセル図は、縦軸に光度、横軸に表面温度をプロットしたものであり、通常は右側へ向かって温度が下がり、対数スケールで示される。主系列は、左上の高温・高輝度の星から右下の低温・低輝度の星へと走っている。赤色超巨星は表面積が大きいため、低温でも高輝度である。白色矮星は表面積が小さいため、高温でも低輝度である。太陽は主系列上で、約1太陽光度付近および$5800\ \mathrm K$の位置にプロットされる。

星は重力によってガスと塵の雲が収縮することで形成される。核が加熱され、水素融合により主系列星を維持できるようになり、外側への圧力が重力と釣り合う。太陽のような星では、核の水素が最終的に枯渇し、那里的な融合が減少すると、重力によって核が収縮する。核温度が上昇し、殻層での水素燃焼や後続のヘリウム融合は、赤色超巨星への膨張と関連する。外層は失われ、持続的な融合のない白色矮星の核が残る。それは非常に長い時間をかけて冷却していく。太陽は超新星や中性子星にはならない。

はるかに質量の大きい星は、後続の段階でより重い元素を融合させることができる。核が融合からのエネルギーを得られなくなると、崩壊と超新星爆発が起こり、残骸の質量に応じて中性子星またはブラックホールが残る。大質量の主系列星は燃料が多いが、核が高温であるためそれをはるかに早く消費する。そのため、主系列での寿命は短くなる可能性がある。燃料量だけでなく、融合速度についても説明すること。HR軌跡は、星が空間内を移動していることを示すものではなく、温度/光度の変化を示している。

ドップラー効果と宇宙論

同じスペクトル線を比較する

ドップラー効果とは、視線方向の相対運動によって観測される周波数や波長が変化する現象である。遠方へ離れる源からは successive wavefronts が互いに離れて到着し、近づく源からは互いに接近して到着する。後退は longer wavelengths と lower frequencies をもたらし、接近は shorter wavelengths と higher frequencies をもたらす。視線方向に純粋に垂直な運動は、単純なモデルにおける後退速度ではない。

低速度の後退において電磁波について：

赤方偏移$z$は後退に対して正となる。小さなシフトについては、その絶対値は観測周波数の発生源に対する相対的な減少率にも近似して等しい。符号の定義式を述べる：$(f_{\rm observed}-f_{\rm rest})/f_{\rm rest}$は後退に対して負となる。正の赤方偏移を符号付き周波数の増加と見なすな。近似$v/c_0$は、一般の高速相対論公式ではない。

計算例。 発せられたスペクトル線の波長は$500\ \mathrm{nm}$、観測された波長は$505\ \mathrm{nm}$である。

星の吸収線を用いるには、Unit 2を思い出す必要がある：光子のエネルギーが原子レベルの許容差と一致する場合のみ吸収される。異なる元素の2つの線ではなく、同一の識別されたスペクトル線を比較する。

For opposite limbs of a rotating star, one approaches while the other recedes. If their shifts are equal and opposite, the separation of the two observed wavelengths is twice the shift of either limb. Halve that separation before finding the equatorial speed. Then use $T=2\pi R/v$. This assumes the observed line-of-sight limb speed represents the equatorial rotation speed under the stated viewing geometry.

ハッブルの法則とその限界

大きな宇宙論的スケールにおいて、後退速度はおおよそハッブルの法則に従う：

ハッブル定数$H_0$の単位は時間の逆数である。$\mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}}$において、キロメートルをメートル、メガパースケをメートルに変換した後に、秒単位の逆数を求める。近傍の天体には、大規模な関係に従わない局所的な運動が含まれている可能性がある。

計算例。 $H_0=70\ \mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}}$と$1\ \mathrm{Mpc}=3.1\times10^{22}\ \mathrm m$を使用して、膨張の時間スケールを推定する。

逆数はハブル時間である。これを年齢として解釈するには過去の膨張率に関するモデルが必要であり、厳密なモデル非依存の年齢ではない。大きい$H_0$はより短い逆数スケールに対応する。膨張の証拠は、かつて密度が高く高温だった宇宙を裏付けるものであり、既に存在していた空洞の中心へ爆発が広がったことを示すものではない。

暗黒物質は、可視物質だけでは説明できない重力効果（銀河の回転や運動など）から推定される。検出可能な光を発する必要はない。重力を持つ物質の量は膨張の変化に影響を与えるため、物質成分や膨張モデルの不確実性は、宇宙の運命に関する予測に影響する。$H_0$の測定値一本だけで永続的な膨張か、将来の収縮かが決定すると断じるな。現代のモデルでは暗黒エネルギーも考慮されており、 Outcome 171 は特に、$H_0$、暗黒物質、年齢、運命に関する議論を理解することであり、単一の無条件な予測を暗記することではない。

一般的なミス

• $pV = NkT$ に °C を用い、ステファン・ボルツマンの法則やウィーンの変位法を用いる。これらすべてケルビンが必要である：$T/\text{K} = \theta/{}^\circ\text{C} + 273$ 。
• $\Delta E = mc\Delta\theta$ が物質の融解または沸騰中である时使用する。このとき温度は一定であるので、$\Delta E = mL$ を用いるべきである。
• $N$ と $n$ を混同する。$pV = NkT$ は分子数を用い、$pV = nRT$ は物質量（モル数）を用いる。
• 安定性の比較において全結合エネルギーを引用する。核子あたり結合エネルギーで比較すること。
• 質量欠損を u のまま残す。$1\ \text{u} = 1.66\times10^{-27}\ \text{kg}$ （または $1\ \text{u} \equiv 931.5\ \text{MeV}$ ）で変換してから、$\Delta E = c^2\Delta m$ を行う。
• $A = \lambda N$ で時間の単位を混同する。$A$ がベクレルであれば、$\lambda$ は $\text{s}^{-1}$ である必要があり、時間単位の整合性を確認せよ。
• 減衰曲線のフィットや逆二乗則の検証の前に背景を差し引くことを忘れる。
• 振動の終端で加速度がゼロであると述べる。$x = \pm A$ では速度がゼロであり加速度が最大となる；平衡点ではその逆である。
• 振幅が大きくなると周期が変わると考える。単純調和運動において周期は $m$ と $k$ （または $l$ と $g$ ）にのみ依存する。
• 軌道半径を表面から測定する。$g = GM/r^2$ および $V_{\text{grav}} = -GM/r$ では、$r$ は中心から測定される。
• $I = L/4\pi d^2$ の $4\pi d^2$ を忘れるか、$L = 4\pi r^2\sigma T^4$ で星の直径を半径として使用する。
• 遠方銀河に対して $z = \Delta\lambda/\lambda \approx v/c$ を用いる際、それが $v \ll c$ を必要とする旨を明記しないこと。

自己チェック

1. 相転移中に温度が上昇しないにもかかわらず内部エネルギーが増加するのはなぜか？
2. 剛体容器内で一定量のガスが加熱された場合、圧力を比較するためにどの温度目盛りを使用すべきか？
3. 核子あたりの結合エネルギーが大きいほど、核子を平均して分離するために必要なエネルギーは少なくなるか多くなるか？
4. カウントレート比や対数を用いる前に背景を差し引く必要があるのはなぜか？
5. $a$–$x$ 直線の傾きが $-25\ \mathrm{s^{-2}}$ のとき、角周波数を求めよ。
6. 平衡点では加速度がゼロであるにもかかわらず、最大SHM速度が得られるのはなぜか？
7. 減衰振動する橋は同じ周波数で駆動できるのに、振幅が小さく振動するのはなぜか？
8. 衛星をより大きな半径に持ち上げると、その符号付き重力ポテンシャルエネルギーは増加するか減少するか？
9. 星は高温だが暗い。どのようなHR領域が妥当であり、その低い光度をどう説明できるか？
10. 逆向き回転する両端の波長差を用いる際、なぜ2倍の係数が必要なのか？

解答: (1) 分子間ポテンシャルエネルギーが変化する; (2) ケルビン; (3) 多い; (4) 背景は放射源の減衰・距離法則に従わない; (5) $\omega=\sqrt{25\ \mathrm{s^{-2}}}=5.0\ \mathrm{rad\,s^{-1}}$; (6) 復元合力はゼロだがエネルギーは主に運動エネルギーである; (7) 大きなエネルギー損失が定常振幅を制限する; (8) ゼロに近づく; (9) 白色矮星、小さな放射面; (10) 片方の端は青方偏移し、もう片方は赤方偏移している。