力学および材料

Edexcel IAL Physics Unit 1 (paper WPH11) は力学と材料: ものがどのように動くか、力が何を成すか、運動量とエネルギーがどう振る舞うか、そして固体および液体材料が力に対してどのように応答するかである。

• 試験は 1 時間 30 分、 80 点で、全問必答である。選択問題、小問、計算問題に加え、アスタリスク（*）付きの長文回答が1〜2問含まれる。
• 32点以上の 80点でレベル2の数学（グラフの読み取り、方程式の変形、三角関数、面積）を問う。
• 試験用紙の最後に公式一覧が印刷されている。各記号の意味とどの場合にその式が使えるかを学べ——一覧は公式を示すだけであり、理解そのものではない。
• $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$を使う。この値は必須であり、$g = 10$を使用すると正確性点が失われる。最終的な答えには単位と適切な有効数字（通常は 2–3、データに合わせて）を付記する。

スピードメーターは瞬間的な速度を示すのみであり、旅には停車や加速が含まれ得る。この単元では、一つの数値に代えて、グラフ、ベクトル、力、運動量、エネルギー、材料の強さといった全体像を扱う。

• 変位 — 位置の変化の直線距離と方向（ベクトル）。距離 — 経路の全長（スカラー、方向なし）。
• 速度 — 変位の時間変化率。速さ — 距離の時間変化率。
• 加速度 — 速度の変化率：$a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t}$、単位$\text{m s}^{-2}$。

変位は始点から終点への直線であるため、曲線の軌道では常に 距離 > 変位の大きさ となる——出題者はこの比較を正確に求める。

運動グラフの読み取り

• 変位-時間グラフにおいて、傾き は速度を表す。曲線は速度の変化を示し、その点における接線の傾きを求めよ。
• 速度-時間グラフにおいて、傾きは加速度、線と時間軸の間の面積 は変位を表す。時間軸以下の面積は負の変位（後退運動）、距離はすべての面積の絶対値の和とする。
• 加速度-時間グラフにおいて、線下の面積は 速度の変化量 を表す。
• 一定の非ゼロ加速度は変位-時間グラフを放物線に変え、直線であれば加速度はゼロである。

例題（6月 2025 形式）。 速度-時間の直線が $t = 4\ \text{s}$ で $1.8\ \text{m s}^{-1}$ から $t = 16\ \text{s}$ で $5.0\ \text{m s}^{-1}$ までまっかに上昇する。

• 既知条件：直線部分における二つの $(t, v)$ のペア。理由：加速度は速度-時間グラフの傾きである。
  $$a = \frac{\Delta v}{\Delta t}$$
  $$a = \frac{5.0\ \text{m s}^{-1} - 1.8\ \text{m s}^{-1}}{16\ \text{s} - 4\ \text{s}} = \frac{3.2\ \text{m s}^{-1}}{12\ \text{s}} = 0.27\ \text{m s}^{-2}$$
• 確認：線が緩やかに上昇しているため、小さい加速度は妥当である。

4つのsuvat方程式

一方向の 等加速度運動（一定加速度）において、$s$ が変位、$u$ が初速度、$v$ が終速度、$a$ が加速度、$t$ が時間の場合：

• 求める物理量と既知の物理量を含む方程式を選び、未知の物理量は含まれないようにする。$t$がない場合は$v^2 = u^2 + 2as$を使用する。$a$がない場合は$s = \tfrac{(u+v)}{2}t$を使用する。
• これらの方程式は加速度が一定である場合のみ有効である。速度-時間グラフが曲線であれば加速度が変化していることを示し、変位-時間グラフが曲線であっても加速度は一定であり得る。
• 自由落下は、空気抵抗を無視して下向きの加速度$a = g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$を持つ等加速度運動である。

** worked example（推論・比較、6月2025 Q13）** 床から$1.7\ \text{m}$の高さからバスケットボールを垂直方向に初速度$5.1\ \text{m s}^{-1}$で投げ上げ、バスケットに入るときには下向きに速度$2.1\ \text{m s}^{-1}$になっている。バスケットは床から$3.0\ \text{m}$の高さにあるか？

• 既知：$u = +5.1\ \text{m s}^{-1}$、$v = -2.1\ \text{m s}^{-1}$（下向きを負とする）、$a = -9.81\ \text{m s}^{-2}$。求める量：上昇高度$\Delta s$。時間が与えられていないので、$v^2 = u^2 + 2a\Delta s$を使用する。
  $$v^2 = u^2 + 2a\Delta s \quad\Rightarrow\quad \Delta s = \frac{v^2 - u^2}{2a}$$
  $$\Delta s = \frac{(-2.1\ \text{m s}^{-1})^2 - (5.1\ \text{m s}^{-1})^2}{2 \times (-9.81\ \text{m s}^{-2})} = \frac{4.41 - 26.01}{-19.62}\ \text{m} = 1.1\ \text{m}$$
• バスケットの高さ$= 1.7\ \text{m} + 1.1\ \text{m} = 2.8\ \text{m} \neq 3.0\ \text{m}$であるため、公式高さではなかった。「〜かどうかを推測せよ」問題では、比較と結論の両方を明記したときにのみ最終点が付与される。

コア・プラクティカル1：$g$の測定

物体を落下させて測定する：ライトゲートまたは既知のフレームレートを持つ動画を用いて、$s$と$t$（または2点における速度）を取得し、suvat方程式を用いる。より正確な方法：$s$を$t^2$に対してプロットして$s = \tfrac{1}{2}gt^2$を得る——原点を通り傾きが$g/2$の直線となる。原点を通らない直線は系統誤差を示しており、例えば距離の測定における一定のオフセットがある場合がある。タイミングの遅延も関係式を歪める可能性がある。自動タイミングは反応時間の誤差を低減する。ストロボ写真では、各フラッシュ間に物体が移動する。フラッシュ時間を短くすると鮮明な画像となり、位置の可能性の範囲が小さくなり、スケールと画像解像度が同一であれば距離読みの不確かさを低減できる。

ベクトルは大きさおよび方向を持ち（変位、速度、加速度、力、運動量）、スカラーは大きさのみを持つ（距離、速さ、仕事、エネルギー）。試験用紙でのベクトルの表記は記号の上にある矢印であり、$\vec{F}$である。

分解と合成

• 分解とは、あるベクトルを2つの互いに垂直な成分に分割すること：力 $F$ が方向に対して角度 $\theta$ をなす場合、その成分は $\theta$ がその方向から測定されれば $F\cos\theta$ であり、$F\sin\theta$ が垂直方向から測定されれば同じ値となる。癖ではなく、直角三角形を描くことで選択する。
• 二つの直交成分を合成して元のベクトルを再構築する：大きさ$R = \sqrt{F_x^2 + F_y^2}$、方向は$\tan\theta = F_y / F_x$による。
• 合成してから二乗する。 $500\ \text{N}$と$200\ \text{N}$が直角なときの合力は$\sqrt{500^2 + 200^2}\ \text{N}$であり、$\sqrt{500^2} + \sqrt{200^2}$ではない。
• いかなる角度においても、スケール図（ベクトル三角形、鼻尖から尾端へ）を描くか、あるいは各ベクトルをまず成分に分解して加算する。平衡状態ではベクトル三角形は閉じる：$\vec{W} + \vec{T_1} + \vec{T_2} = 0$。

** worked example。** 水平面との角度$\theta$の斜面の上に箱があり、鉛直下向きの重力$W$が作用している。

• なぜ：滑動方向は斜面に沿うため、$W$を斜面に沿う成分と垂直な成分に分解する。
  $$W_{\text{along}} = W\sin\theta \qquad W_{\text{perp}} = W\cos\theta$$
• 一定速で動くとき合力はゼロであるため、摩擦力$F = W\sin\theta$と等しい。（$W\cos\theta$は斜面に垂直向内に働き、反発力によって釣り合っている。）

投射運動

重力のみ作用下で自由に運動する物体は、2つの独立した運動です。水平方向の速度は一定（水平方向に力が働かない）、垂直方向の速度は $g$ の影響を受けて変化します。

• 落下時間は垂直方向の運動のみによって決まります。異なる速度や質量で机から出た2つのボールは、同じ時間に地面に着地します：質量と水平方向の速度は $s = ut + \tfrac{1}{2}gt^2$ に含まれません。
• 方法：発射速度を $u_h = u\cos\theta$ と $u_v = u\sin\theta$ に分解し、各方向について suvat を個別に適用します。時間が両方の運動を結びつけます。

例題（1月 2025 Q19）。 投射体が海面より $2.0\ \text{km}$ 上から、水平面に対して $22^\circ$ 上方の角度 $500\ \text{m s}^{-1}$ で発射された。約 $30\ \text{s}$ 後に船 $15\ \text{km}$ 上空を通過することを示せ。

• 既知：$u$、$\theta$、水平距離 $s_h$。水平運動には $a = 0$ があるため、$s_h = u_h t$ を用いる。
  $$u_h = u\cos\theta = 500\ \text{m s}^{-1} \times \cos 22^\circ = 464\ \text{m s}^{-1}$$
  $$s_h = u_h t \quad\Rightarrow\quad t = \frac{s_h}{u_h} = \frac{15\,000\ \text{m}}{464\ \text{m s}^{-1}} = 32\ \text{s} \approx 30\ \text{s}$$
• その時刻の垂直高さは、$u_v = u\sin\theta = 187\ \text{m s}^{-1}$ を用いた $s_v = u_v t - \tfrac{1}{2}gt^2$ で求める：
  $$s_v = 187\ \text{m s}^{-1} \times 32\ \text{s} - \tfrac{1}{2} \times 9.81\ \text{m s}^{-2} \times (32\ \text{s})^2 = 5\,984\ \text{m} - 5\,023\ \text{m} = 961\ \text{m}$$
  $$h = 2.0\ \text{km} + 0.96\ \text{km} = 3.0\ \text{km above sea level}$$
• 最大飛翔距離が存在する理由：発射角を上げると $u_v$ （滞空時間）が増加するが、$u_h$ は減少する。飛翔距離 $= u_h \times t$ はこの2つの効果の間にピークを持つ。

• 自由体図は、選択した物体に働く力のみを示す。物体が他の物体に与える力は含めない。伸縮可能な物体の場合、重力は重心に作用する。
• ニュートンの第一法則：合力がゼロであれば運動の変化はない——静止中でも一定速度で移動中でも同様である。一定速度は「力が働いていない」ことではなく、「力が釣り合っている」ことである。
• ニュートンの第2法則: $\sum F = ma$。合力が加速度を生じさせる。すべての力をリストアップし、正の方向を選択してから適用する。
• ニュートンの第三法則：物体Aが物体Bに力を加えると、Bもまた Aに対して 等しく逆向きの力を加える。対は 異なる物体 に働き、同じ種類の力であり、同一の直線上に作用する。本の重力と台の支持力は 第三法則の対ではない ——これらは同じ物体に働くからである。
• 重力（重量）: $W = mg$；重力場強度: $g = \dfrac{F}{m}$、したがって $g = 9.81\ \text{N kg}^{-1}$ 。
• 終端速度: 落下物体が加速するにつれ、抗力が増大し、抗力（＋浮力）が重力と等しくなるまで続く。そのとき合力はゼロとなり、速度の変化は停止する。「終端」という言葉は自然界に刻まれた速度制限を指すのではなく、力の釣合いを表すものである。

計算例（6月 2025 Q11）。合力 $4800\ \text{N}$ がボートを $0.31\ \text{m s}^{-2}$ の加速度で動かす。ボートの重さを求めよ。

• 既知：$\sum F$、$a$。理由：$\sum F = ma$ はこれらを質量に結びつけ、$W = mg$ は質量と重力を結びつける。
  $$\sum F = ma \quad\Rightarrow\quad m = \frac{\sum F}{a} = \frac{4800\ \text{N}}{0.31\ \text{m s}^{-2}} = 15\,500\ \text{kg}$$
  $$W = mg = 15\,500\ \text{kg} \times 9.81\ \text{N kg}^{-1} = 1.5 \times 10^{5}\ \text{N}$$
• 確認：答えには2つの方程式を順に用いる必要があり、単位はニュートンでありキログラムではない。

• 運動量 $p = mv$、ベクトル、単位は $\text{kg m s}^{-1}$。
• 運動量の保存: 外力の合力がゼロである（または短時間の相互作用中のインパルスが無視できる）場合、事象前の全運動量は事象後の全運動量と等しい。速度に符号を与える：一方の方向を正とし、それを守ること。
• 運動量の保存はニュートンの第二法則と第三法則から導かれる：二つの物体間の力は等しく逆向きで、同じ時間に作用するため、運動量の増減分も等しく逆向きとなる。
• 衝突後に運動エネルギーが必ず残るとは限りませんが、運動量は孤立系内では常に保存されます。

** worked example（6月 2025 Q10 ）** 質量 $3m$ の電車が速度 $v$ で進み、質量 $m$ のトラックが速度 $2v$ で向かい合います。両者が結合したとき、新しい速度を求めよ。

• 既知：質量と互いに反対方向の速度。理由：孤立系であるため、符号を含めて運動量を保存する式を用いる。電車の方を正の方向とする。
  $$p_{\text{before}} = p_{\text{after}}$$
  $$3m \times v + m \times (-2v) = (3m + m)\,V$$
  $$mv = 4mV \quad\Rightarrow\quad V = \frac{v}{4}$$
• 確認：運動量がほぼ打ち消し合うため、電車の方向に小さな合成速度となるのは妥当である。

• 力のモメント は支点に対する $\text{moment} = Fx$ であり、ここで $x$ は支点から力の作用線までの 垂直距離 を指す。力がレバーに対して角度 $\theta$ で加わる場合、垂直成分 $F\sin\theta$ または垂直距離のいずれかを用いるが、その両方を同時に用いてはいけない。
• 力のモメントの原理 ：平衡状態では、時計回りの総モメント = 反時計回りの総モメント（合力矩はゼロ）。
• 完全な平衡には 両方 が必要である。合力がゼロでかつ合力矩がゼロであること。等しい距離にある等しい子供がいるシーソーは両方を満たすが、等しくない距離にいる場合でも力は釣り合うがモメントは釣り合わない。
• 均質なビームの場合、重力はその中心点に働く。

例題（6月 2025 Q19）。 長さ $1.40\ \text{m}$、重量 $95\ \text{N}$ の均質レールが水平に対して $42^\circ$ の角度で置かれ、一端が支点になっている。ピストンがレールに対して $18^\circ$ の角度で $160\ \text{N}$ の力で押し、支点から $0.37\ \text{m}$ 離れている。ハンドル端でレールを刚好持ち上げるための垂直力 $F$ はいくらか？

• 既知：幾何学、両方の力、両方の角度。理由：持ち上げ始める瞬間は支点における平衡状態であるため、垂直成分を含む力のモメントの原理を適用する。
  $$\text{moment of piston} = (160\ \text{N} \times \sin 18^\circ) \times 0.37\ \text{m} = 18.3\ \text{N m}$$
  $$\text{moment of weight} = (95\ \text{N} \times \cos 42^\circ) \times 0.70\ \text{m} = 49.4\ \text{N m}$$
  $$18.3\ \text{N m} + F \times 1.40\ \text{m} = 49.4\ \text{N m} \quad\Rightarrow\quad F = \frac{49.4\ \text{N m} - 18.3\ \text{N m}}{1.40\ \text{m}} = 22\ \text{N}$$
• ハンドルで垂直に引く場合：支点からの垂直距離はレールの長さより短いため、同じモメントを得るには 大きい 力が必要となる。

• 仕事 $\Delta W = F\Delta s$ は力が運動方向に沿って加わるとき、または力が運動に対して角度 $\theta$ をなすときには、運動方向の成分のみが仕事をする：$\Delta W = F\Delta s\cos\theta$ 。
• kinetic energy $E_k = \tfrac{1}{2}mv^2$ — doubling speed quadruples the energy.
• 重力ポテンシャルエネルギー $\Delta E_{\text{grav}} = mg\Delta h$ は地球表面付近での近似式である。
• エネルギー保存則 ：エネルギーは移動したり変換されたりするだけで、創造されたり破壊されたりすることはない。空気抵抗のある落下では、$\Delta E_{\text{grav}}$ が $E_k$ および 空気抵抗に対する仕事に変換される。終末速度では $E_k$ が一定であるため、$\Delta E_{\text{grav}}$ のすべてが空気抵抗に対する仕事に使われる。
• 出力 $P = \dfrac{E}{t} = \dfrac{W}{t}$ ——単位時間あたりに伝達されるエネルギー。
• 効率 $= \dfrac{\text{useful energy output}}{\text{total energy input}} = \dfrac{\text{useful power output}}{\text{total power input}}$。

** worked example (6月 2025 Q14)。** 質量 $1800\ \text{kg}$ の電気自動車が速度 $14\ \text{m s}^{-1}$ で走行中、坂上で停止し、高度 $0.76\ \text{m}$ を得た。バッテリーが $45\ \text{kJ}$ のエネルギーを蓄えた。ブレーキの効率を求めよ。

• 既知: $m$, $v$, $\Delta h$, バッテリーの増分。理由: 総入力エネルギーはブレーキによって除去されたエネルギーであり、失われた運動エネルギーから、より高い位置で止まることで保持される重力ポテンシャルエネルギーを引いたものとなる。
  $$E_k = \tfrac{1}{2}mv^2 = \tfrac{1}{2} \times 1800\ \text{kg} \times (14\ \text{m s}^{-1})^2 = 1.76 \times 10^{5}\ \text{J}$$
  $$\Delta E_{\text{grav}} = mg\Delta h = 1800\ \text{kg} \times 9.81\ \text{N kg}^{-1} \times 0.76\ \text{m} = 1.34 \times 10^{4}\ \text{J}$$
  $$\text{efficiency} = \frac{\text{useful output}}{\text{total input}} = \frac{45 \times 10^{3}\ \text{J}}{1.76 \times 10^{5}\ \text{J} - 1.34 \times 10^{4}\ \text{J}} = 0.28$$
• 確認: $0.28 < 1$ — 必要。一般的な誤りは、単に $E_k$ で割り、高さの変化を無視することである。

• 密度 $\rho = \dfrac{m}{V}$。球の場合、$V = \tfrac{4}{3}\pi r^3$。
• 浮力 = 排した流体の重量 — 排した 重量 であり、体積や質量ではない。
• ストークスの法則: 層流において低速で動く小さな球に対する粘性抵抗は $F = 6\pi\eta rv$ で表され、$\eta$ は粘度、$r$ は半径、$v$ は速度である。これは、乱流のない小さな球がゆっくりと動く場合にのみ有効であり、この実験では液体が暖まると$\eta$ が低下する。気体は一般にこの傾向に従わない。

コア・プラクティカル 2: 落下球法による粘度測定

金属ボールを液体の入ったメジャーシリンダーに落とす。終端速度で落下するまで待ち、印字された距離での通過時間を測る。終端速度では力が釣り合っているため、重量 = 浮力 + 抵抗 となるので、

ボールの半径と質量（または密度）、油の密度、落下距離、時間が必要である。温めた油は粘度が低いため、ボールは速く落下し、測定時間は短くなる。

** worked example（落下球からの粘性係数の測定）。半径$1.0\ \text{mm}$、密度$7800\ \text{kg m}^{-3}$の鋼製小球が、密度$920\ \text{kg m}^{-3}$の油中を2つの目盛り間$0.200\ \text{m}$を$8.0\ \text{s}$で落下する。油の粘性係数を求めよ。

• 終端速度：$v = \dfrac{0.200}{8.0} = 0.025\ \text{m s}^{-1}$。
• $\eta$に関する力の釣り合いを整理する：

• 力を確認する：$W = \tfrac43\pi r^3\rho_{\text{ball}}g = 3.2\times10^{-4}\ \text{N}$、$U = \tfrac43\pi r^3\rho_{\text{oil}}g = 0.38\times10^{-4}\ \text{N}$、$F = 6\pi\eta rv = 2.83\times10^{-4}\ \text{N}$。浮力と抗力は重力に等しい。

浮力はここでは小さいが、無視すると$\eta$が約$13\%$大きくなる。目盛りAを水面下に十分配置し、計測開始前に小球が終端速度に達しているようにする。

• フークの法則: 材料が比例限界内にある間、$\Delta F = k\,\Delta x$ が成立する；$k$ は 剛性（ばね定数）であり、力-伸びグラフの傾きである。
• 応力 $\sigma = \dfrac{F}{A}$ (単位 Pa)、ひずみ $\varepsilon = \dfrac{\Delta x}{x}$ (単位なし)、ヤング率 $E = \dfrac{\sigma}{\varepsilon}$。応力とひずみは 材料 の性質を表し、力と伸びは 試料 の性質を表す。
• 力-伸びグラフまたは応力-ひずみグラフにおいて、直線部分は 比例限界 で終わる。弾性限界 を超えると、試料は元の長さに戻らなくなる (弾性変形 = 戻る；塑性変形 = 伸びたまま残る)。明確な 降伏点 を持つ材料は、降伏時に力の増加がほとんどないにもかかわらず大きく伸びる。他の延性材料は降伏が徐々に進行する。降伏点 は substantial plastic flow の開始を示し、破断応力 は破断時の応力である。
• 弾性ひずみエネルギー: 線形ばねに対して $\Delta E_{\text{el}} = \tfrac{1}{2}F\Delta x$ — これは力-伸びグラフの下の面積である。非線形グラフの場合は、方眼纸で面積を概算する。荷重 応力-ひずみ グラフの下の面積は、$\dfrac{F}{A} \times \dfrac{\Delta x}{x} = \dfrac{F\Delta x}{V}$ であるため、単位体積あたりの仕事 である。弾性領域ではこのエネルギーは回復可能な弾性ひずみエネルギーとして蓄えられるが、弾性限界を超えた仕事はすべて回復可能ではない。

** worked example（6月2025Q17b）**。元の長さが$0.750\ \text{m}$、半径が$0.85 \times 10^{-3}\ \text{m}$のヴァイオリン弦に力$36\ \text{N}$を加えると、その長さは$0.752\ \text{m}$に伸びる。ヤング率を求めよ。

• 既知: $F$, $x$, $\Delta x$, $r$。理由: $E = \sigma/\varepsilon$ は応力とひずみが必要であり、応力は断面積が必要である。
  $$A = \pi r^2 = \pi \times (0.85 \times 10^{-3}\ \text{m})^2 = 2.27 \times 10^{-6}\ \text{m}^2$$
  $$\sigma = \frac{F}{A} = \frac{36\ \text{N}}{2.27 \times 10^{-6}\ \text{m}^2} = 1.59 \times 10^{7}\ \text{Pa} \qquad \varepsilon = \frac{\Delta x}{x} = \frac{0.002\ \text{m}}{0.750\ \text{m}} = 2.67 \times 10^{-3}$$
  $$E = \frac{\sigma}{\varepsilon} = \frac{1.59 \times 10^{7}\ \text{Pa}}{2.67 \times 10^{-3}} = 6.0 \times 10^{9}\ \text{Pa}$$
• 確認：$6\ \text{GPa}$ はナイロン弦やgut弦の現実的なオーダーである（金属は概ね$10^{10}$–$10^{11}\ \text{Pa}$、鋼材は概ね$2 \times 10^{11}\ \text{Pa}$）。答えが$10^{15}\ \text{Pa}$付近にある場合、半径の変換ミスを示唆する。

コア実験 3：線のヤング率

長いワイヤーに既知の質量を吊り下げて、スケールに対してマーカーで伸びを測定する。ワイヤーは長くし、伸びは比例域内に留まりつつ解像度を確保できるよう十分に大きくする。比例域内で荷重を段階的に加え、マイクロメータで複数の位置で直径を測る。次に $E$ は応力-ひずみ線の勾配から求められ、または比例域内で点対点で $\sigma/\varepsilon$ から求める。

• すべての手順を示す。 「$F = ma$ の使用」には数値が出る前にマークが与えられる——記号での式を書き、次に代入する。
• 単位と $g$。 単位の欠落は最終マークを失う原因になりやすい； $g = 10\ \text{m s}^{-2}$ は有効数字の精度を失う可能性があります。「示せ」問題では、目標値より有効数字を1桁多くする必要がある。
• 指示語： state（述べる）＝简短で正確な回答； calculate/determine（計算/決定する）＝計算過程と単位数を伴う数値； deduce（導き出す）＝計算過程と比較結論を伴う； explain（説明する）＝物理的因果関係による説明； describe（記述する）＝順序立てて何が起こるか記述する。
• アスタリスク（*）付きの回答は、関連性のある論理的推論と内容の両方で採点される：ポイントを並べ替えて、それらを結びつけること。
• 公式一覧は末尾にある——どこにあるかを知っておけば、2秒で調べられるものを暗記する必要がない。

一般的なミス

• 加速度が変化する際のスバット方程式の使用。一定加速度の場合のみ有効であり、それ以外の場合はグラフの勾配と面積を使用する。
• 垂直運動における符号の混同。正の方向を決めて統一する：上方を正とする場合、上昇時および下降時に$a = -9.81\ \text{m s}^{-2}$となる。
• 投射体の頂点で速度がゼロになるという誤解。垂直成分のみがゼロであり、水平成分は全程変化しない。
• 分解時の$\sin$と$\cos$の入れ違い。角に隣接する成分は$F\cos\theta$、対向する成分は$F\sin\theta$である。
• 単一の自由体図にニュートンの第三法則のペアを置く。2つの力は異なる物体に作用し、同じ種類の力である。
• 跳ね返りの符号を忘れる：$\Delta p = m(v - u)$ が$v$ と$u$ の反対方向にある場合、差ではなく絶対値の和となる。
• 傾斜したビームに沿ったモーメントの測定。支点から力の作用線までの垂直距離を使用する。
• 終端速度における浮力を無視する。流体中を落下する球の場合、$W = U + F_{\text{drag}}$ である；ストークスの法則は層流状態でゆっくり動く小さな球体が必要である。
• ワイヤーの断面積として $\pi d^2$ を用いる。$A = \pi r^2 = \pi d^2/4$ は、マイクロメータで複数の位置で測定された $d$ を用いる。
• 応力-ひずみ曲線下の面積を歪エネルギー（strain energy）と呼ぶ。これは単位体積あたりのエネルギーであり、力-伸び曲線下の面積はエネルギーそのものである。

1. 速度-時間グラフにおいて、傾きと面積はそれぞれ何を表すか？ — 加速度；変位。
2. 2つの速度から時間を用いずに高さを求める suvat 方程式はどれか？ — $v^2 = u^2 + 2as$。
3. 自由軌道上の投射体の水平方向の加速度は？ — ゼロ（重力のみが垂直方向に作用するため）。
4. 本が机の上に置かれているとき、その重力と机の支持力はニュートンの第三法則の対となる力か？ — いいえ：同じ物体に作用しているからである。
5. 2台のカートが衝突して结合在一起する場合、常に保存される量は何か？ — 全運動量（運動エネルギーは必ずしも保存されない）。
6. レバーに対して角度を持った力が働いているとき、モーメントに用いる距離はどれか？ — 支点から力の作用線までの垂直距離。
7. 車が上り坂でブレーキをかける場合、効率を求めるための入出力エネルギーは何か？ — 失った運動エネルギーから重力ポテンシャルエネルギーを増分した残分。
8. 浮力はどのような重量に等しいか？ — 排開された流体の重量。
9. ストークスの法則にはどのような3つの条件が必要か？ — 小さな球体、低い速度、層流（そして $\eta$ は温度依存性がある）。
10. 応力-ひずみグラフにおいて、直線部分の傾きと、その下の面積は何を表すか？ — ヤング率；単位体積あたりの弾性ひずみエネルギー。