I · Numerical methods

AQA A-level Mathematics 7357、セクションI（数値的手法）、バージョン1.3（初回評価2018）。オリジナル授業用ノート。

前提条件：セクションBおよびGからの関数の評価と符号分析。

これらは公式なAQA教材ではなく、オリジナルの授業例である。

問題

• 方程式 x³ − x − 1 = 0 に簡明な代数的解はないが、エンジニアは4桁の精度で根が必要とする。どうすれば指定された精度で近似解答が正しいことを証明できるか。
• 読む前に、符号変化が何を示すかを述べ、十進数解答が信頼できる理由を述べるべきである。

手法

• 区間の両端で符号が異なる連続関数は、その間に零点を持つ。二分法は区間を半分に切り、両端の符号がまだ異なる半分を維持する；中間点が itself 零点であれば停止する。
• 反復法 x_next = g(x) は変形による推測を洗練させます；極限LはL = g(L)を満たさなければならず、元の方程式で確認する必要があります。ニュートン＝ラフソン法は非ゼロの導関数を用いてx_next = x − f(x)/f′(x)を使います。台形則は定積分を推定します：(h/2)(y₀ + 2y₁ + … + 2yₙ₋₁ + yₙ)。
• 二分法: 根の括弧を半分に分割し、符号変化を含む半分を維持する; 反復: 前推定値から x次 = g(x) の更新を繰り返す; ニュートン＝ラフソン法: 根の更新 x次 = x − f(x)/f′(x); 台形則: 台形の帯を加えることで積分を推計する。

解答の確認

• 符号の変化は、関数が連続している場合にのみ零点の存在を証明する：1/x は x = 0 を境に符号が変わるが、そこには零点がない。丸めた零点を括弧と共に報告する（例：f が [1.32465, 1.32475] 上で符号変化を示すため、小数点以下1.3247桁の精度で示される）。これにより正確性は保証される。
• 反復計算は発散したり循環したりすることがあります：反復値、定義域、および元の方程式を確認してください。台形則による推定値は、単に関数が増加するかどうかではなく、曲率によって過大または過小になります。

演習例

• 既知: Newton–Raphson において f(x) = x² − 2 および x₀ = 1.5。f′(x) = 2x なので x₁ = x₀ − f(x₀)/f′(x₀) = 1.5 − (2.25 − 2)/3 = 1.5 − 0.0833… = 1.4166667。2回目のステップ: f(1.4166667) ≈ 0.0069444、f′ ≈ 2.8333333 なので x₂ ≈ 1.4142157、√2 に収束する。

例：

同じ数列を使って、2つの等間隔の台形ストリップを用いて ∫₀² x² dx を推定し、正確な値と比較してください。（答え：h = 1、高さ 0、1、4 より、A = (1/2)(0 + 2 × 1 + 4) = 3。正確な値は 8/3 ≈ 2.667 — 凸曲線により推定値は過大となります。）

限界と罠

• 各手法には条件がある：二分法は連続する符号変化を必要とし、ニュートン法はゼロでない導関数を必要とし、悪い初期値から失敗する可能性がある。|g′(L)| < 1 は、固定点 L 付近で g′ が連続しており初期値が十分に近い場合の局所的収束のための十分条件であり、必須条件ではない。より多くの帯域は台形近似を改善するが、断言によって正確にするものではない。

警告：

すべての符号変化が根を示すという主張は誤りです。中間値の定理による推理には区間全体における連続性が必要であり、漸近線を挟んで関数が負から正にジャンプしても、根が存在しない場合があります。

重要：

数値解析法：連続した符号変化で根を括り、二分法で半分に分割します；収束確認を行いながら反復計算を行います；ニュートン＝ラフソン法は接線を使用します；台形則は曲率が誤差の方向を決定して積分を推定します。