H · Integration

AQA A-level Mathematics 7357、セクションH（積分）、バージョン1.3（初回評価2018）。オリジナル授業用ノート。

前提知識：セクションGの微分法。

これらは公式なAQA教材ではなく、オリジナルの授業例である。

問題

• ランナーの速度グラフが時間軸より下侧に一度沈み、その後再び上昇する。「曲線下の面積」はほぼゼロ — ランナーは何も動かなかったのか？
• この先読む前に、符号付きの面積が何を意味するか述べよ。また、総移動距離と変位の違いも述べよ。

手法

• 積分は微分の逆操作である:原関数 axⁿ に対するもの (n ≠ −1) は axⁿ⁺¹/(n+1) + C であり、1/x の積分は ln|x| + C である。定積分 a から b までの値は符号付き蓄積 F(b) − F(a) である。
• 曲線が軸を横切ると符号付き面積が相殺されるため、全正の面積を求めるには各交点で積分を分割する必要がある。基本定理は両方向をつなぐ: 蓄積関数を微分すると被積分関数に戻る。
• 原関数: 与えられた被積分関数の導関数を持つ関数; 定積分: 2つの限界間の関数の符号付き蓄積; 基本定理: 蓄積関数を微分すると被積分関数に戻ってくるという双方向のリンク。

解答の確認

• 任意の原関数はそれを再び微分して検証し、不定積分では定数 C を保つ — 与えられた点がそれを固定する。n = −1 の場合は別: 1/x の積分は ln|x| であり、零除算を含む累乗則は使わない。
• 全面積を計算する前に、区間内での被積分関数の符号変化を見つけ、そこで分割する。符号変化を持つ速度は、変位と全移動距離が異なる答えになる。

演習例

• 既知：v(t) = 3t² − 3 for 0 ≤ t ≤ 2。原函数はt³ − 3t。変位 = [t³ − 3t] from 0 to 2 = (8 − 6) − 0 = 2 m。しかし、v = 0 at t = 1 なので、総距離 = −[t³ − 3t] from 0 to 1 + [t³ − 3t] from 1 to 2 = 2 + 4 = 6 m。

例：

y = x²とx軸の間の面積を0から1まで求め、同じ順序で4個のストリップを用いた右端長方形推定を行ってください。（解答：正確な∫₀¹ x² dx = 1/3 ≈ 0.333；推定値は(1/4)(1/16 + 1/4 + 9/16 + 1) = 15/32 ≈ 0.469、この増加する凸曲線の過大評価です。）

限界と罠

• 積分は矩形の和の極限であり、有限のストリップ数のみでは推定に過ぎず、誤差は曲率に依存します。x = 0 における 1/x のような不連続性を越えて積分しないでください、また有向面積がゼロであっても総面積は正であることに注意してください。

警告：

定積分は常に曲線と軸の間の正の総面積に等しいという主張は誤りです：積分は符号付きであり、軸以下の領域は負としてカウントされるため、変位は小さくてもゼロであっても、移動した総距離は大きい場合があります。

重要：

積分：逆微分による検証付きの原函数（Cは与えられた点で固定）、定積分は符号付き蓄積F(b) − F(a)、総面積はすべての符号変化で分割が必要、基本定理は蓄積と被積分関数を結びつけます。