G · Differentiation

AQA A-level Mathematics 7357、セクションG（微分法）、バージョン 1.3（初回評価 2018）。オリジナル授業用資料。

前提知識：セクションBの代数変形と関数記法。

これらは公式なAQA教材ではなく、オリジナルの授業例である。

問題

• 車の距離-時間曲線は常に湾曲しているため、全行程に一つの「速度」は当てはまらない —Buf、スピードメーターは現在一つの数値を示している。この数値は幾何学的に何を意味するか？
• この先読む前に、接線の傾きと二つの時刻間の平均速度の違いを述べよ。

手法

• 導関数とは、h → 0 のとき差の商 [f(x+h) − f(x)]/h の極限である：すなわち接線の傾きと瞬間的な変化率。y = axⁿ に対して dy/dx = anxⁿ⁻¹；三角関数および指数関数の形も同様に得られる：(sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x, (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x（ラジアン単位）。
• 停留点では dy/dx = 0；導関数の符号の変化または二階導関数の符号によって分類する（正：局所的最小値；負：局所的最大値）。合成関数の処理には連鎖律、積の微分法、商の微分法を用い、内側のすべてのrate因子を保持する。
• 導関数：瞬間的な変化率、すなわち接線の傾き；停留点：導関数がゼロとなる点；二階導関数：導関数の導関数であり、傾きの変わり具合を表す。

解答の確認

• 導関数がゼロになるのは単なる候補に過ぎない：y = x³ は 0 で停留するが上昇を続けるので、分類には符号の変化や f″ が必要である。制限区間内では境界値も比較すること — 全域の極値は端点にあることがある。
• 積 xeˣ の微分後、簡単な入力値で確認する：積の微分法により eˣ + xeˣ が得られ、x = 0 では 1 となり 0 ではない。個別の導関数を掛け合わせるとその値は誤りとなる。

演習例

• 既知: y = x³ − 3x なので dy/dx = 3x² − 3。定常点は 3x² − 3 = 0 のとき: x = ±1。二階導関数は 6x: x = 1 のとき値は 6 > 0 なので (1, −2) は局所最小点; x = −1 のとき値は −6 < 0 なので (−1, 2) は局所最大点。

例：

y = x³ − 3x において x = 2 の接線と法線の方程式を求めるには同じ手順を用いる：f から点 → f′ から傾き → 直線の方程式。（解答：x = 2 における y の値は 2、傾きは 9 なので、接線は y − 2 = 9(x − 2)、法線は y − 2 = −(1/9)(x − 2)。）

限界と罠

• 導関数は傾きを提供するものであり、y座標ではない — 点は必ず元の曲線から得られる。水平な接線（傾き 0）には垂直な法線があり、零の逆数が存在しないため、これは x = 定数として表される。

警告：

導関数がゼロの点はすべて局所最大または最小である。この主張は誤りである: y = x³ は x = 0 で dy/dx = 0 だが、導関数 3x² は両側で正のままであり、極限を持たない変曲点となる。

重要：

微分: 導関数は接線の傾きであり、接線の傾きと変化率を与える。定常候補は f′ = 0 より得られ、符号の変化や f″ で分類される。接線と法線は f からの点と f′ からの傾きを用いる。