F · Exponentials and logarithms

AQA A-level Mathematics 7357、セクションF（指数関数と対数）、バージョン 1.3（初回評価 2018）。オリジナル授業用資料。

前提知識：GCSEレベルの指数法則と科学電卓。

これらは公式なAQA教材ではなく、オリジナルの授業例である。

問題

• サンプルは每3.5時間ごとに半分になるが、実験室は5時間時点での濃度を知りたい。表が提供されない場合、欠落した表に代わる式はあるか？
• 本文を読む前に、モデル y = Ae^(kt) に入力すべき情報と、対数プロットによってデータからkをどう取り出せるかを述べる。

手法

• y = Ae^(kt) において、Aは初期量、kは比率定数であり、成長なら正、減衰なら負となる。半減期は ln 2/|k|、倍加時間は ln 2/k である。
• 対数は指数関数の逆であり、y = a^x は x = log_a y を意味し、yが正の場合にのみ定義される。対数の法則は指数の法則に基づく：log(uv) = log u + log v, log(u/v) = log u − log v, log(uᵏ) = k log u。a^x = b を解くと x = ln b / ln a となる。ln y をtに対してプロットすると、y = Ae^(kt) は直線 ln y = ln A + kt となる。
• 半減期：減衰する量が初期値の半分になるまでの時間；対数：所定の底を何乗すれば与えられた正の数が得られるかの指数。

解答の確認

• 適合された指数関数はモデルであり、予測する前に指定された時間単位と適用範囲を確認し、新しい測定値（残差）と比較して信頼できるかどうかを判断するべきである。負のkは減衰を意味し、負の初期量は通常、文脈に反する。
• 対数方程式においては、最初に元の定義域を記録する：すべての対数の引数は正でなければならず、対数を結合した後に得られた候補はそれに対して検証されなければならない。

演習例

• 既知：y = 80e^(−0.2t)、yはグラム、tは時間（時間）。量の半分ということは 40 = 80e^(−0.2t) であり、したがって e^(−0.2t) = 1/2 となる。両辺に自然対数をとると、−0.2t = −ln 2 となり、t = ln 2/0.2 ≈ 3.466 時間となる。同じkは任意の初期量に対して半減期を与える。

例：

3^x = 20 を以下の手順で解く：対数を取る → べき乗の法則を適用 → 割る → 解釈する。（解答：x ln 3 = ln 20、したがって x = ln 20/ln 3 ≈ 2.727。確認：3^2.727 ≈ 20。）

限界と罠

• 対数の法則は正の引数にのみ適用され、ln(x + y) に和の法則はない（ln 2 + ln 3 = ln 6 ≠ ln 5）。指数関数モデルでは時間の単位をkに合わせる必要がある：年換算的有效利回りが10%である場合、k = ln 1.1 であり、k = 0.1 ではない。

警告：

正の x と y に対して、ln(x + y) = ln x + ln y という主張は誤りである。積の法則は ln(xy) = ln x + ln y であり、対数の内部にある和に対する法則はない。x = y = 1 の例で確認できる（ln 2 ≈ 0.69 だが、ln 1 + ln 1 = 0）。

重要：

指数関数と対数：半減期が ln 2/|k| である y = Ae^(kt)；対数は指数関数の逆関数であり、積・商・べき乗の法則に従い、指数関数のフィットを直線に変換する。解く前に定義域と単位を確認すること。