E · Trigonometry

AQA A-level Mathematics 7357、セクションE（三角関数）、版 1.3（初回試験 2018）。元の授業用メモ。

前提条件：GCSE直角三角形の三角関数および正確な値。

これらは公式なAQA教材ではなく、オリジナルの授業例である。

問題

• 2人の学生に A = 30°、a = 7、b = 10 が与えられた。一人は1つの三角形を報告し、もう一人は2つあると主張し、どちらも直角三角形であると述べる。どの情報がケースを区別するか？
• 読む前に、どの法則が辺と対角をペアにするかを述べ、逆正弦の答えに必要な追加のチェックを説明せよ。

手法

• 単位円上、角度θの点は(cos θ, sin θ)であり、符号は象限に従い、正確な値は30-60-90および45-45-90直角三角形から得られる。ラジアンとは弧の長さが半径に等しい角度を指し、s = rθおよび扇形の面積 = r²θ/2にはラジアンが必要である。
• 正弦定理は対辺と対角をペアにする：a/sin A = b/sin B。余弦定理 a² = b² + c² − 2bc cos A は、aに対する角を用いる。不確定ケースでは、sin B = b sin A / a がBまたはその補角 180° − B を与えることがあり、どちらも残りの角に対して検証する必要がある。
• 単位円：半径1の円で、(cos θ, sin θ)が角度θの点となるもの；ラジアン：弧の長さが半径に等しい角度を成すもの；正弦定理：a/sin A = b/sin Bで対辺と対角をペアにする法則；余弦定理：a² = b² + c² − 2bc cos A の法則；不確定ケース：正弦定理において、同じ条件で2つの三角形が成立しうる状況。

解答の確認

• 既知の情報に基づいて法則を選択する：対応する辺と角のペアがある場合は正弦定理を使用し、2辺とその挟角、あるいは3辺が既知の場合は余弦定理を使用する。面積については、ab sin C / 2 にaとbの間の角が必要である。
• 各候補角を検証する：残りの角 C = 180° − A − B は正でなければならず、すべての辺も正でなければならない。電卓の逆正弦関数は鋭角の主値のみを返すため、補角は別の候補として扱う。

演習例

• Known: sides 6 and 8 enclose 60°. Use the cosine rule: c² = 6² + 8² − 2 × 6 × 8 × cos 60° = 36 + 64 − 96 × 0.5 = 52. So c = √52 = 2√13 ≈ 7.21. The area is (1/2) × 6 × 8 × sin 60° = 24 × (√3/2) = 12√3.

例：

For A = 30°, a = 7, b = 10, find the possible values of B using the same sequence: known → sine rule → both branches → validity check. (Answer: sin B = 10 × sin 30°/7 = 5/7, so B ≈ 45.6° or B ≈ 180° − 45.6° = 134.4°. Both leave a positive third angle, so TWO triangles fit.)

限界と罠

• 不確定ケースでは個数を数える必要がある：h = b sin A で鋭角Aの場合、a < h は解なし、a = h は1つの直角三角形、h < a < b は2つ、a ≥ b は1つとなる。区間内の三角方程式ではすべての解を列挙する必要がある：[0, 2π) における sin x = 1/2 は π/6 と 5π/6 の両方を含む。

警告：

電卓による逆正弦関数の値は、正弦則の問題における唯一の可能性のある角度です。この主張は誤りです。正弦関数は2つの象限で正の値をとるため、補角 180° − B が第2候補となり、検証する必要があります。これがまさに曖昧なケースに相当します。

重要：

三角関数：単位円による値と符号、ラジアンによる弧や扇形、曖昧なケースを含む正弦則、内角に対する余弦則、および面積公式 ab sin C / 2 — 常に残りの角の有効性チェックを行うこと。