D · Sequences and series

AQA A-level Mathematics 7357、セクション D（数列と級数）、バージョン 1.3（初回評価 2018）。元の授業用資料。

前提知識：GCSE の等差数列と連立方程式。

これらは公式なAQA教材ではなく、オリジナルの授業例である。

問題

• 貯蓄者は毎年同じ額を預け込み、投資は毎年同じ割合で成長します。8年後、どちらの残高を一行で正確に合計できますか？
• これ以降を読む前に、2つのうちどちらが増加による累進、どちらが乗算による累進かを述べ、それぞれの和の公式に必要な要素を答えてください。

手法

• 等差数列は一定の差を加える数列：uₙ = a + (n − 1)d。その級数の和は両端のペアによる pairing で求められます：Sₙ = n(a + uₙ)/2。等比数列は一定の比を掛ける数列：uₙ = arⁿ⁻¹、r ≠ 1 のとき Sₙ = a(1 − rⁿ)/(1 − r) です。
• 無限等比級数の和が存在するのは |r| < 1 の場合のみであり、項がゼロに収束するためである：S∞ = a/(1 − r)。帰納法（再帰的定義） は前項から次項を定義するもので初期値が必要であり、周期数列 は一定のステップごとに繰り返される。
• 等差数列：項間の差が一定の数列；等比数列：項間の比が一定の数列；帰納法（再帰的定義）： preceding 値から各項を与える規則；周期数列：固定したステップ後に項が繰り返される数列。

解答の確認

• 2つの既知項より連立方程式で a と d を求め、その後公式を用いる：u₃ = 10 および u₇ = 22 より 4d = 12、したがって d = 3、a = 4。項数は正の整数でなければならないため、分数や負の解は却下され、適当に切り上げたり丸めたりしてはならない。
• 主張された和を最初の数項で直接検証し、交差点の両側にある整数に対して「少なくとも」という目標値が満たされるか確認する。

演習例

• 既知：a = 5、d = 3、n = 8。第8項は u₈ = 5 + 7 × 3 = 26。和は S₈ = n(a + uₙ)/2 = 8(5 + 26)/2 = 124。4組の端のペアそれぞれが 31 を作り、4 × 31 = 124 ✓。

例：

a = 12、r = 0.5 のとき、無限和および部分和が 23.9 を超える最初の n を見つける。同じ手順を用いる：既知 → 公式 → 代入 → 整数チェック。（解答：S∞ = 12/(1 − 0.5) = 24。部分和は Sₙ = 24(1 − 0.5ⁿ)：S₇ = 24(1 − 1/128) = 23.8125 < 23.9 および S₈ = 24(1 − 1/256) = 23.90625 ≥ 23.9 なので、n = 8。）

限界と罠

• 無限級数の公式は r = 1 または r = −1 では成立しない。この場合、項は縮小しない。負の比が収束するにはその絶対値が 1 未満でなければならない。漸化式では演算順序を正確に維持する必要がある: B next = 1.1B + 50 は 1.1(B + 50) と異なる。

警告：

すべての等比級数は無限和を持つという主張は誤りである。和が存在するのは |r| < 1 の場合のみである。r = 2 の項は増加して限界がなく、r = −1 の場合は部分和が永遠に振動するため、どちらも収束しない。

重要：

数列と級数：等差数列は加算（両端をペアにして和を取る）、等比数列は乗算（Sₙ = a(1−rⁿ)/(1−r)、|r| < 1 のみ S∞ = a/(1−r)）。既知項からパラメータを復元し、個数については整数の答えを要求する。