C · Coordinate geometry

AQA A-Level数学 7357，C部分（坐标几何），版本1.3（首次评估2018）。原始教学笔记。

前提知识：GCSE直线、勾股定理及二次方程。

これらは公式なAQA教材ではなく、オリジナルの授業例である。

問題

• 卫星天线截面和车轮轮圈都是圆，但只有轮圈可以写成 (x − a)² + (y − b)² = r² 的形式，使其中心一目了然。该方程能带来什么便利？
• 阅读下文前，请说明参数 a、b 和 r 各自控制什么，以及如何在不求导的情况下找到切线方向。

手法

• 过点 (x₁, y₁) 且斜率为 m 的直线方程为 y − y₁ = m(x − x₁)。平行线共享斜率 m；互相垂直的非无穷大斜率满足 m₁ × m₂ = −1。
• 中心が (a, b) で半径が r の円は、(x − a)² + (y − b)² = r² で表されます。接点における半径は接線に垂直であるため、接線の傾きは半径の傾きの負の逆数となります。直径に対する円周角は直角です。
• 傾き：x の単位変化あたりの y の変化量；円：中心から一定距離にある点の集合；接線：円と一点で接し、その点における半径に垂直な直線。

解答の確認

• 接線を引く前に、提案された点が円上にあるか確認するには、(x − a)² + (y − b)² = r² に代入します。展開形 x² + y² + px + qy + s = 0 から中心を取り出すには平方完成を行い、右辺も調整してください。
• 直線と円の交点を求めるには代入法を用います。重解であれば接線、2つの解であれば弦、判別式が負であれば交わりません。

演習例

• 既知：円 x² + y² = 25 および其上の点 (3, 4)（3² + 4² = 25 ✓）。中心 (0, 0) から点 (3, 4) への半径の傾きは 4/3 であり、m₁ × m₂ = −1 より接線の傾きは −3/4 です。したがって接線は y − 4 = −(3/4)(x − 3) となり、整理すると 3x + 4y = 25 となります。

例：

Find the centre and radius of x² + y² − 4x + 2y − 20 = 0 using the same sequence: group terms → complete each square → read the form. (Answer: (x − 2)² + (y + 1)² = 25, so the centre is (2, −1) and the radius is 5; note the bracket signs reverse in the centre.)

限界と罠

• 負の逆数の法則は有限かつ非ゼロの傾きが要求されます。水平な半径に対しては垂直な接線が生じ、これは x = 定数として表されます。中心から垂線で二等分される弦は直角三角形の Shortcut を提供します：半弦、半径、中心からの距離はピタゴラスの定理に従います。

警告：

円上の点における接線の傾きは、その点に対する半径の傾きと同じであるという主張は誤りです。接点において半径と接線は垂直であるため、その傾きの積は −1 となります。(3, 4) において、半径の傾きは 4/3、接線の傾きは −3/4 です。

重要：

座標幾何：点は傾きによって直線が定義され、円は (x − a)² + (y − b)² = r² で定義されます。接線には半径との垂直関係を利用し、交点には代入法と判別式を用います。