B · Algebra and functions

AQA A-level Mathematics 7357、セクションB（代数学と関数）、バージョン1.3（初回試験2018）。オリジナル授業用資料。

前提知識: GCSE代数：指数、根式、因数分解及解二次方程。

これらは公式なAQA教材ではなく、オリジナルの授業例である。

問題

• 2名学生解 x² − 4x + 1 = 0。一人通过配方法求得精确解；另一人代入公式并过早四舍五入，结果偏离了十分位。精确方法与产生偏差的方法有何区别？
• 阅读下文前，请说明每种解法需要哪些信息，以及如何验证最终答案。

手法

• 二次方程可通过因数分解、配方法（a(x − h)² + k 给出顶点 (h, k)）或求根公式求解。判别式 b² − 4ac 可在任何求解操作之前统计实数根的个数。
• 函数将其定义域内的每个输入值恰好对应一个输出值。仅当函数在定义域上为一对一映射时才存在反函数——首先需将 x² 限制为 x ≥ 0。复合函数 fg(x) = f(g(x)) 先应用 g，且 fg 与 gf 通常不同。图像变换可从因式分解形式 a·f(b(x − h)) + k 中读取：按 1/b 和 a 进行缩放，再按 h 和 k 进行平移。
• 配方法：将二次方程改写为 a(x−h)²+k 的形式以读出顶点并精确求解；判别式：决定实数根数量的量 b²−4ac；函数：为每个允许输入提供唯一输出的规则；定义域：函数的所有允许输入的集合。

解答の確認

• 将每个候选解代回原方程检验，特别是在平方（可能引入增根）或除以含变量表达式（可能丢失零解）之后。保留根式为精确形式直至要求的四舍五入步骤；计算中途四舍五入正是导致十分位误差的原因。
• 对于声称的反函数，需在反函数的定义域上验证 f(f⁻¹(x)) = x，并明确陈述该定义域——x² 的反函数仅在受限分支上存在。

演習例

• 已知：x² − 4x + 1 = 0。配方法：(x − 2)² − 4 + 1 = 0，故 (x − 2)² = 3。整理得：x − 2 = ±√3。代入法得 x = 2 + √3 ≈ 3.732 或 x = 2 − √3 ≈ 0.268。验算：(2 − √3)² − 4(2 − √3) + 1 = 7 − 4√3 − 8 + 4√3 + 1 = 0 ✓。

例：

f(x) = x² − 4 （定義域 x ≥ 0）の逆関数とその定義域を同じ手順で見つけよ：既知の関係式 → 変形 → 枝の選択 → 定義域と値域を明記。（解答：y = x² − 4 より、x = √(y + 4)、x ≥ 0 の枝を用いるため、f⁻¹(x) = √(x + 4)、定義域 x ≥ −4、値域 y ≥ 0。）

限界と罠

• 求根公式始终适用，但当根为根式时优先使用精确形式；小数仅为近似值。复合运算具有顺序依赖性，变换后的图像必须通过追踪一个已知点来验证，而不仅依赖公式。

警告：

函数 f(x) = x² 在所有实数上存在反函数。此说法错误：两个输入对应同一输出（2 和 −2 均得到 4），因此反向映射不是函数——必须先限制定义域，例如设为 x ≥ 0，从而得到 f⁻¹(x) = √x。

重要：

代数与函数：通过配方法或使用带判别式的求根公式计数根；在原方程中检验候选解。函数需注明定义域；反函数需一对一分支；图像变换应从因式分解形式中读取。