R · Forces and Newton's laws

AQA Aレベル数学 7357、セクションR（力とニュートンの法則）、バージョン 1.3（初回評価 2018）。オリジナル授業用メモ。

前提知識：セクションJのベクトルおよびセクションQの運動学。

これらは公式なAQA教材ではなく、オリジナルの授業例である。

問題

• リフトの乗客はリフトが上昇して加速中により重く感じ、減速中は軽く感じるが、乗客の質量は変わらない。実際に変化しているものは何か？
• 本文を読む前に、乗客に働く力を列挙し、床のスケールが実際に測っている力がどれかを答えよ。

手法

• 力とは、運動を変化させる押しまたは引きであり、単位はニュートンである。ニュートンの第一法則：合力がゼロの場合、速度は一定である＝静止、または一定速度での直線運動。ニュートンの第二法則：合力は質量×加速度に等しく F = ma であるため、方程式を使用する前に力はベクトルとして加算されなければならない。
• ニュートンの第三法則：ペアの力は等価で反対向きだが、異なる物体に作用するため、一つの自由体図上で相殺 never しない。斜面では、重力 mg は斜面に沿って mg sin θ、斜面に垂直な成分 mg cos θ に分解される。反発力は垂直成分のみと釣り合い、摩擦力は滑りを阻止し、その限度は μR までである。
• 力：運動を変化させる押しまたは引き、単位はニュートン；合力：物体に働く全力の単一のベクトル和であり、ma に等しい；摩擦力：相対的な滑りに対抗する接触力、最大値は μR。

解答の確認

• 代数計算の前に自由体図を描く：各力ごとに一本の矢印を、物体に触れさせ、他は何も描かない。矢印の出所（重力、反発力、張力、摩擦力、推力）を名指せない場合、それは図に含まれない。
• リフトのスケールは重力ではなく反発力 R を表示する：上方に加速する場合、R − mg = ma より R = m(g + a) > mg となり、「重くなる」感覚はより大きな反発力に対応しており、観察結果と一致する。

演習例

• 既知：a 3 kg のブロックが摩擦によって固定された 30° の斜面上にある。g = 9.8 m/s²。斜面方向：mg sin θ = F なので、F = 3 × 9.8 × 0.5 = 14.7 N。垂直方向：R = mg cos θ = 3 × 9.8 × (√3/2) ≈ 25.5 N。ブロックが静止しているために必要な摩擦係数は少なくとも F/R = tan 30° ≈ 0.577 である。

例：

上方に 1.2 m/s² で加速するリフト内に 60 kg の乗客が立っている。スケールの読み数を求めよ。同じ手順を用いる：自由体図 → R − mg = ma → 代入。（解答：R = 60 × (9.8 + 1.2) = 660 N。）

限界と罠

• 全ての F = ma の式には方向を明記し、図の符号と整合性を持たせるべきである。合力の向きが間違っていていると、加速度の向きも逆になる。大きさを確認せよ：反発力がゼロ未満ということは、物体が表面から離れていることを意味する＝モデル、あるいは計算自体が破綻した。

警告：

支持反発力は常に重力に等しい。この主張は誤りである：斜面では R = mg cos θ < mg であり、加速するリフト内では R = m(g + a) である。支持反発力が重力に等しいのは、水平面かつ垂直方向の加速度がない場合に限られる。これをあらゆる場面で仮定することは、すべての斜面およびリフト計算を無効にする。

重要：

力とニュートンの法則：まず自由体図を描く；全力の合力は ma に等しい；反発力のペアは異なる物体に作用する；斜面では重力を mg sin θ と mg cos θ に分解し、支持反発力は常に重力とは限らない。