Q · Kinematics

AQA A-Level Mathematics 7357、セクション Q（運動学）、バージョン 1.3（初回評価 2018）。元の授業用ノート。

前提知识：GCSEグラフの勾配と面积、およびセクションPの物理量と単位。

これらは公式なAQA教材ではなく、オリジナルの授業例である。

問題

• 2台の車が同じ 24 メートルを同じ 4 秒で移動するが、その速度–時間グラフは全く異なる — 一方は傾いた直線、もう一方は水平である。両方の移動がどうして 24 m なのか？
• これより先に進む前に、速度–時間グラフの傾きと面積がそれぞれ何を表し、なぜ水平なグラフと傾いたグラフが同じ面積を囲めるかを説明せよ。

手法

• 運動学 はその原因を問わずに運動を記述する。変位 s はメートル単位の位置の変化；速度 v は変位の変化率；加速度 a は速度の変化率であり、単位は m/s² である。
• 速度–時間グラフにおいて、傾きは加速度、グラフ下の面積は変位を表す。加速度が一定の場合、s, u, v, a, t の5つの物理量は suvat 方程式によって結びつき、各方程式は1つの物理量を欠いている：v = u + at, s = ut + at²/2, s = (u + v)t/2, v² = u² + 2as, s = vt − at²/2。
• 運動学：変位、速度、加速度、時間を介した原因への言及なしの運動の記述；変位：指定された方向への変化、メートル単位；加速度：速度の変化率、m/s² 単位。

解答の確認

• suvat 方程式を選ぶ際は与えられたものではなく、欠けているものに基づいて選ぶ：問題に関わる4つの物理量をリストアップし、5つ Among which one is absent を見つけ、それを欠く方程式を選択する。
• 重力による垂直運動は、上向きを正とした場合、a = −g ≈ −9.8 m/s² という同じモデルを用いる。投げ上げられた球は上昇中、頂点、下降中のいずれにおいても同じ下向きの加速度を保つ。

演習例

• 既知：サイクリストが初期速度 u = 2 m/s で加速度 a = 2 m/s² を 4 s かけて加える。最終速度 v = u + at = 2 + 2 × 4 = 10 m/s。変位 s = (u + v)t/2 = (2 + 10) × 4/2 = 24 m — グラフ下の台形の面積であり、平坦なグラフの車が 6 m/s で 4 s 間移動した場合と同じである。

例：

石が静止状態から落下し、3 s 間自由落下する。g = 9.8 m/s² を用い、その速さと落下距離を求める。同じ手順に従う：既知 → v = u + at → s = ut + at²/2。（答え：v = 0 + 9.8 × 3 = 29.4 m/s；s = 0 + 9.8 × 9/2 = 44.1 m。）

限界と罠

• 答えをグラフで確認する：数値による変位は面積と等しくなければならず、加速度の符号は傾きと一致しなければならない。負の変位とは、物体が開始点より後ろに止まったことを意味し、「時間を遡って移動した」ことではない。

警告：

スーバート方程式は任意の運動に適用される。この主張は誤りである：一定の加速度を仮定している。曲線状の速度–時間グラフでは、勾配と面積が加速度および変位を示す仍可逆だが、v = u + at およびその類似式は適用されない。実際の落下物体は最終的に終端速度に達し、加速度はゼロとなる。

重要：

運動学：速度–時間グラフでは勾配が加速度、面積が変位である。一定の加速度の場合、欠けている量を含まないスーバート方程式を選択する。垂直方向の運動は a = −g のモデルと同じである。