O · Statistical hypothesis testing

AQA A-level Mathematics 7357, セクションO (統計仮説検定), バージョン 1.3 (初回評価 2018)。元の授業用ノート。

前提知識: セクションNからの二項および正規モデル。

これらは公式なAQA教材ではなく、オリジナルの授業例である。

問題

• 工场は不良品率を10%と声称し、样本10个中に3个の不良品があった。ある生徒は「3个の不良品があることは、比率が10%以上であることを证明している」と说んだ。この主张を検证する正しい方法は何か。
• 読む前に、帰無仮説、対立仮説、そして証拠を判断するために必要な確率を述べる。

手法

• 結果を観察する前に、 population parameters で 帰無仮説 H₀ と 対立仮説 H₁ を宣言する。H₀ 下での、観察されたものより極端な結果の確率を計算する — それは尾確率である。
• 選んだ 有意水準 (例: 5%) と比較する。尾が有意水準に達すれば、H₀ を棄却する；否则、証拠は不十分 (INSUFFICIENT) であり、H₀ が証明されたとは決して言わない。統計的有意性は効果の実用的な大きさ (SIZE) については何も示さない。
• 帰無仮説: Population parameter についてのデフォルトの主張で、証拠に対して検証される; 対立仮説: H₀ に対する証拠が十分に強い場合に受け入れられる主張; 有意水準: 帰無仮説を棄却するための選んだ確率閾値。

*P(X ≥ 3) ≈ 0.0702 > 0.05 なので、H₀を弃却する证据は不十分であり、H₀を证明するものではない。

解答の確認

• 尾部は、小さい値を与える方ではなく H₁ から選択すべきである：H₁: p > 0.1 の場合、P(X ≥ 観測値) が必要であり、上側尾部となる。「異なる」という主張に対しては両側検定で尾部を倍にするが、「大きい」という主張に対してはそうではない。
• 帰無仮説と対立仮説はサンプルに関するものではなく、パラメータ（真の不良率）に関するものであり、データを確認する前に固定されている。否则、検定は操作されていることになる。

演習例

• 既知：H₀: p = 0.1, H₁: p > 0.1, n = 10, 并且观察到3个不良品。H₀の下で X ~ binomial(10, 0.1): P(X ≥ 3) = 1 − (0.9¹⁰ + 10 × 0.1 × 0.9⁹ + 45 × 0.01 × 0.9⁸) ≈ 1 − 0.9298 = 0.0702。5%の有意水準で、0.0702 > 0.05：不良品率が10%を超えるという证据は不十分。

例：

正しい片側p値は 0.03 で、5% 有意水準にある。結論は以下の順序で述べる：有意水準と比較 → 文脈に基づいて結論付け。（答え：0.03 < 0.05 因此 H₀ を棄却：5% 有意水準で対立仮説の主張を支持する証拠がある。）

限界と罠

• H₀を弃却できないことはそれが真であることを证明しない。サンプルが小さすぎて实际の差异を検出できなかった可能性もある。5%のレベルとは、多くの试行において偶然によって1回、20个の无辜な主张が「弃却」されることを意味する。有意性は重要度を表すものではない。

警告：

帰無仮説を棄却しないことはそれが真であることを証明する。この主張は誤りである：検定は H₀ に反する証拠が閾値を満たすかどうかのみを測定する。弱い証拠では H₀ は未証明であり、証明されたわけではない。「十分の証拠がない」と「真であると証明された」は全く異なる結論である。

重要：

統計的仮説検定：まずパラメータで H₀ と H₁ を提示し、H₀ 下で尾部確率を計算し、事前に設定した有意水準と比較して、文脈に基づいて結論付ける。生存したからといって帰無仮説が証明されたと claiming してはならない。