M · Probability

AQA A-Level数学 7357、セクションM（確率）、バージョン1.3（初回評価2018）。オリジナル授業用ノート。

前提知識：GCSEの確率ツリー、ベン図。

これらは公式なAQA教材ではなく、オリジナルの授業例である。

問題

• 3個の赤と 2個の青が詰まった袋から、2回続けて球を取り出します。2回目の確率は1回目とは異なりますが、これは誤りではなく要点です。
• 読み進める前に、「取り出しなし」が何を変え、木図でどのように表現されるかを答えてください。

手法

• 木図の枝に沿って掛け算し、一つの結果に対して非重複な枝を足します。条件付き確率は標本空間を制限します：P(B が与えられた A) = P(A ∩ B)/P(B)、ただし P(B) > 0 です。取り出しなしの場合、次の引き出しにおける構成が変わります。
• **排反（相違）**とは重なりがないことを指し、独立とはある事象を知っても他方の確率が変わらないことを指します。正の確率を持つ2つの非重複事象は決して独立ではありません：A が起きた場合、P(B) は 0 に下がります。
• 条件付き確率：与えられた情報によって選ばれるグループ内での事象の確率；排反：同時に起こり得ない事象；独立：ある事象を知っても他方の確率が 2019 だけ変化しない事象。

解答の確認

• ベン図を OVERLAP から外側へ埋めます：18がサイクリング、12が水泳、7が両方をしている場合、残りの領域は 11 と 5 だけで、少なくとも1つは 23、 neither は 7 (全体 30 中) です。18 + 12 を加えると、7 が二重カウントされます。
• 条件付き確率は、条件付けされたグループの総数を分母に用います：P(サイクリングが与えられた水泳) = 7/18 であり、7/30 ではありません。条件の逆転は通常値を変えます。

演習例

• 既知：3個の赤と 2個の青、取り出しなしで2回引き出します。P(2回とも赤) = 3/5 × 2/4 = 3/10。P(各1つ) = 3/5 × 2/4 + 2/5 × 3/4 = 3/10 + 3/10 = 6/10。枝は掛け合わせ、非重複な経路は足します。

例：

P(A ∩ B) = 0.12 および P(B) = 0.3 が与えられたとき、同じ手順を使って P(B が与えられた A) を求めます：条件付けされたグループを特定 → 割る → 解釈する。（答え：P(B が与えられた A) = 0.12/0.3 = 0.4。分母は全体ではなく B の確率です。）

限界と罠

• 独立性と排反性は異なる質問に答えます：正の確率を持つ非重複事象は常に従属です。期待値（np）は長期的な平均であり、単一の実行 guarantees ではありません。

警告：

正の確率を持つ排反事象は必ず独立であるという主張は誤りです：A と B が同時に起こらない場合、P(A が与えられた B) = 0 ≠ P(B) となるため、A が起きたことを知ることは B の確率を完全に変え、独立とは正反対です。

重要：

確率：枝に沿って挂け算し、排反な経路を足し算する。条件付き確率は条件とするグループで除算する。无放回试行では确率が変化する。正の确率を持つ排反事象は従属であり、独立 never ではない。