J · Vectors

AQA A-Level Mathematics 7357、セクションJ（ベクトル）、バージョン1.3（初回評価2018）。オリジナル授業用ノート。

前提知識：セクションCからの座標幾何学と三平方の定理。

これらは公式なAQA教材ではなく、オリジナルの授業例である。

問題

• ドローンが A(1, 2) から B(5, 5) へ飛行しますが、ミッションソフトウェアは帰還 leg も求めています。 outward 変位とそれの正確な逆変位の両方を示す単一の公式は何ですか？
• この先を読む前に、距離以外に displacement vector が必要とする要素を述べ、帰還 leg との違いを説明してください。

手法

• ベクトルは大きさ（magnitude）と方向を持ちます。位置ベクトルは原点からの点を特定し、A から B への変位は AB = b − a であり、BA = −AB がそれを逆転させます。成分を加減算し、スカラー倍はベクトルを平行に保ちます。
• 内積 a·b = a₁b₁ + a₂b₂ = |a||b| cos θ は角度を測ります：直交するベクトルは a·b = 0 であり、a·a = |a|² です。大きさは三平方の定理より：|(4, 3)| = 5。
• ベクトル：大きさ（magnitude）と方向を持つ量；変位：ある点から別の点へのベクトル b − a；内積：成分の積の和であり、|a||b| cos θ に等しい。

解答の確認

• 引き算の順序を維持してください：BA = −AB なので、端点を交換するとすべての成分が逆転します。 claiming 平行であるためには、ベクトル間にスカラー倍の関係が必要です：スケッチだけでは証明になりません。
• 3点間の共線性を示すには、2つの変位が平行であること AND 共通点を持つことを示してください。異なる位置にある平行ベクトルでは、一点線上にあるとは証明できません。

演習例

• 既知: a = (4, 1)、b = (1, 3)。内積は a·b = 4 × 1 + 1 × 3 = 7。大きさは |a| = √17、|b| = √10 なので cos θ = 7/(√17 × √10) ≈ 0.537、θ ≈ 57.5°。a·b ≠ 0 なので、ベクトルは直交していない。

例：

A(1, 2) と B(5, 5) に対して、変位 AB、その大きさ、および同じ手順による戻りの変位を求める。(解答: AB = (5, 5) − (1, 2) = (4, 3); |AB| = √(4² + 3²) = 5; BA = (−4, −3)、同じ大きさで逆向き。)

限界と罠

• ベクトルは「どれくらい AND どの方向」に答える; 距離はスカラーのみ。内積は方向を見る: ベクトルが一致しているとき最大、直交しているときゼロ、反対向きなら負となる。

警告：

AB と BA は同じ成分を持つ。この主張は誤り: BA = −AB はすべての成分を反転させる — B から A へ戻るのは (−4, −3) であり、(4, 3) ではない。大きさが一致するのは唯一の事柄である。

重要：

ベクトル：変位＝終点 − 始点、帰還 leg で反転する；成分は加算される；スカラー倍は平行を保つ；内积は角度を与え、直交条件は a·b = 0 のとき正確に成立する。