A · Proof

AQA A-level Mathematics 7357, Section A (Proof), Version 1.3 (First assessment 2018)。オリジナル授業用ノート。

前提知識：GCSEレベルの代数変形。

これらは公式なAQA教材ではなく、オリジナルの授業例である。

問題

• 式 n² + n + 41 は、n = 1, 2, 3, …, 39 のとき素数を与える。ある生徒は常に素数であると結論づけた。一つの反例が四十の検証をどうして覆すのか。
• これより先に、すべての場合に関する主張を確定できるような論理と、単一の場合に関する主張を確定できるような論理を述べよ。

手法

• 帰納的証明は明記された定義から始まり、論理的に推論する：奇整数 2a+1 と 2b+1 の和は 2(a+b+1) となり、偶数である — これはすべてのペアに対して証明済みである。
• 反例は、値がすべて成立するという主張を、有効な失敗ケース一つで否定する：n = 41 において、その値は 41 × 43 = 1763 であり、素数ではない。帰謬法による証明は否定を仮定し不可能性を導き出す：√2 = p/q（既約分数）と仮定すると、p² = 2q² より p が偶数となり、p = 2r と置くと q も偶数になる — これは既約分数という仮定と矛盾するため、√2 は無理数である。
• 帰納的証明：受容された事実から論理的な手順を用いて主張を証明すること；反例：普遍的主張を破棄する有効なケース一つ；帰謬法：否定を仮定し不可能性を導き出すこと。

解答の確認

• n = 0, 1, 2, …, 39 を確認することは強力な証拠ではあるが、証明ではない：この主張はすべての正の整数に関するものである。証明は、一般的な代数、完全な有限リストの網羅、または帰謬法によって、すべての場合を同時にカバーしなければならない。
• 証明を受け入れる前に、その構造を確認せよ：結論ではなく仮定から始まっているか。帰謬法は明記された仮定に攻撃しているか。具体例の確認は計算の検証にはなるが、一般的な論理を代替することはできない。

演習例

• 既知：候補となる反例 n = 41。代入：n² + n + 41 = 41² + 41 + 41 = 41(41 + 1 + 1) = 41 × 43 = 1763。この値は 41 という因数を持つため素数ではなく、普遍的主張はちょうど一つのケースで誤りであることが判明した。

例：

二つの偶数の和が常に偶数であることを帰納的に検証せよ：二つの数を 2a と 2b と書き、その構造を示せ。（答え：2a + 2b = 2(a + b) であり、これは 2 の倍数であるため、すべてのペアについて偶数である — 具体例は不要。）

限界と罠

• 各手法には必要な形式がある：帰納的証明には一般的な変数が必要であり、網羅には実際に完全なケースリストが必要であり、帰謬法には不可能性が否定自体から導かれる必要がある。整数に関する証明が自動的に実数もカバーするわけではなく、すべての値について成り立つ恒等式と、特定の解のみで真となる方程式は異なる。

警告：

最初の百個の整数について主張を確認することは、すべての正の整数について証明したことになるわけではない。この主張は誤りである：有限のサンプルは証拠であり、決して証明ではない — n² + n + 41 は 40 回の検証を通過したが 41 番目で失敗するため、普遍的主張を確定するのは一般的な論理か反例のどちらかである。

重要：

証明：帰納的証明は定義と一般変数から始まり、反例は一つのケースですべての値に関する主張を死に追いやります、帰謬法は否定を仮定し不可能性を導き出す。具体例は検証や反証にはなるが、普遍的主張を証明することはない。