対象範囲と前提条件
ACTフレームワーク、February 2026版改訂。本稿の教室事例は公式のACT形式ではありません。
- 数と量、代数学、関数を適用する
- 座標幾何学、ユークリッド幾何学、三角比を用いる
- 統計、確率、基本スキルモデルを解釈する
前提条件：分配法則；平方根；$i^2=-1$。
説明し、方法を選択する
高等数学の準備には、数、代数、関数、幾何、統計・確率が含まれます。基本的なスキルとして、比率、単位、比例を組み合わせます。
関数については、入力と出力を追跡します。合成では内側の関数を最初に適用します。
座標幾何は傾き、距離、方程式を結びつけます。直角三角形の比では、適切な基準角が必要です。
明示された仮定を持って文脈をモデル化し、結果が妥当かどうかを確認します。電卓は計算をサポートしますが、モデルを選んではくれません。
複素共役数は虚数符号を変化させます。 $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$ が実数 $a,b$ です。 したがって $(2+i)/(2-i)=(2+i)^2/5=(3+4i)/5$ です。 分母はゼロではありません；正確な値とその小数点近似値を区別してください。
** worked example.** f(x)=2x+1 かつ g(x)=x² のとき、f(g(3))=f(9)=19 です。しかし g(f(3))=g(7)=49 です。順序は重要です。確率チェックのため、2回の独立した公平なコイン投げにおいて P(表表)=1/2×1/2=1/4 です。
練習素材
以下の各練習問題は、必要とするデータをすべて明記しています。
推論による練習
この概要では技能を紹介する。各技能には独自のプリントワークと練習シートがある：7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、および18。その順に進めてください。
練習 1
$(3-2i)/(1+i)$ を $a+bi$ の形に計算します。
** reasoning. ** 両辺に $1-i$ を掛けると、分子は $(3-2i)(1-i)=3-5i+2i^2=1-5i$ となる。分母は 2 である。答えは $1/2-(5/2)i$ である。$1+i$ で元に戻すと $3-2i$ になる。
練習 2
$32^{2/5}$ と $\sqrt{(-7)^2}$ を評価します。$z^2+16=0$ を複素数範囲で解きます。
** reasoning. ** 32 の5乗根は 2 であるため、$32^{2/5}=2^2=4$ となる。主平方根は $|-7|=7$ である。方程式については、$z^2=-16$ が $z=4i,-4i$ を与え、どちらも非実数である。
練習 3
2つの無理数の積が有理数になる例を1つ示し、无理数になる例も1つ示してください。
** reasoning. ** $\sqrt2\sqrt2=2$ は有理数である。$\sqrt2\sqrt3=\sqrt6$ は無理数である。ラベル「無理数」のみから、すべての積に対する閉包性または非閉包性は導かれない。
練習 4
$\sqrt{50}$ と $\sqrt{50}\sqrt2$ を有理数か無理数かに分類します。$32^{2/5}$ と $2^{-3}$ を評価します。$\sqrt2$ と $-\sqrt2$ を用いて、無理数の和が必ずしも無理数であることをテストします。
** reasoning. ** $\sqrt{50}=5\sqrt2$ は無理数であるが、$\sqrt{50}\sqrt2=\sqrt{100}=10$ は有理数である。$32^{2/5}=(\sqrt[5]{32})^2=2^2=4$ と $2^{-3}=1/2^3=1/8$ 。2つの无理数の和はゼロであり、これは有理数である；无理数は加算に対して閉包していない。これらの偶乗根の积は非負の実数被開数を用いる。
Limits and next use
改良版ACT数学は4つの選択肢を使用する。5つ選択肢の古い問題は技能を教えることはできるが、現在のテストのペースを定義してはならない。
これらは公式試験問題ではなく、本コースのために作成されたオリジナルの練習課題です。