Pythagoras dan trigonometri dalam 3D
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| space diagonal/speɪs daɪˈæɡənl/ | Diagonal ruang |
| base diagonal/beɪs daɪˈæɡənl/ | Diagonal alas |
Diagonal melalui sebuah ruangan
- Seberapa panjang tongkat terpanjang yang muat di dalam kotak? Itu adalah diagonal ruang — membentang dari satu sudut ke sudut seberang terjauh.
- Pythagoras 3D dan trigonometri mengurangi masalah ini menjadi segitiga datar yang tersembunyi di dalam benda padat.
Strategi: temukan segitiga di dalamnya
- Setiap masalah 3D menjadi masalah 2D: cari segitiga siku-siku di dalam benda padat, lalu gunakan Pythagoras atau trigonometri padanya.
- Seringkali Anda menemukan diagonal alas terlebih dahulu, kemudian masukkan tinggi untuk membentuk segitiga kedua.
Teorema Pythagoras
Dalam segitiga siku-siku a² + b² = c². Ide yang sama, diterapkan dua kali, memberikan panjang di dalam benda 3-D.
Sebuah kotak memiliki alas 6 cm by 8 cm. Temukan panjang diagonal alas (cm).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
√(6² + 8²) = √100 = 10 cm.
Dalam masalah 3-D, Anda mencari segitiga siku-siku di dalam benda tersebut untuk dikerjakan.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Seluruh metode 3-D adalah menguranginya menjadi segitiga siku-siku datar.
Dalam masalah 3D, Anda sering menemukan diagonal ______ terlebih dahulu, lalu menggunakannya dengan tinggi.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Diagonal alas (ditemukan menggunakan Pythagoras 2D) menjadi salah satu sisi dari segitiga siku-siku kedua bersama dengan tinggi.
Contoh soal dikerjakan — diagonal kotak
- Kotak tersebut memiliki alas $6\text{ cm} \times 8\text{ cm}$, tinggi $5\text{ cm}$.
- Langkah 1 — diagonal alas: $\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10\text{ cm}$.
- Langkah 2 — diagonal ruang: $\sqrt{10^2 + 5^2} = \sqrt{125} = 11.2\text{ cm}$.
Sebuah kotak memiliki dimensi 6, 8, dan 5 cm. Diagonal ruang adalah √(6² + 8² + 5²). Temukan nilainya (1 desimal).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
√(36 + 64 + 25) = √125 ≈ 11.2 cm.
Sebuah kubus memiliki sisi 3 cm. Diagonal ruangnya adalah √(3² + 3² + 3²) = √27. Temukan nilainya (2 desimal).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
√27 = 3√3 ≈ 5.20 cm.
Contoh soal dikerjakan — sudut terhadap alas
- Diagonal alas ($10$) dan tinggi ($5$) membentuk segitiga siku-siku.
- $\tan\theta = \dfrac{5}{10} = 0.5$, sehingga $\theta = \tan^{-1}(0.5) = 26.6^{\circ}$.
Percepatan Pythagoras 3D. Diagonal ruang dari sebuah kotak $l \times w \times h$ adalah $\sqrt{l^2 + w^2 + h^2}$. Untuk kotak kita: $\sqrt{36 + 64 + 25} = \sqrt{125} = 11.2$ cm.
Dua langkah, bukan satu. Untuk sudut, Anda membutuhkan diagonal alas DAN tinggi untuk membentuk segitiga kedua. Menggunakan diagonal ruang sebagai sisi akan menghasilkan sudut yang salah.
Diagonal alas adalah 10 cm dan tinggi kotak adalah 5 cm. Sudut ke alas memiliki tan θ = 5/10. Temukan θ (derajat, 1 desimal).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
θ = tan⁻¹(0.5) = 26.6°.
Tempat trigonometri 3D muncul
- Arsitektur: sudut kuda-kuda atap, diagonal ruangan.
- Teknik: panjang strut penyangga, sudut lengan derek.
Pythagoras 3D hanyalah Pythagoras 2D yang diterapkan dua kali — pertama pada alas, lalu dengan tinggi.
Anda telah memahaminya
- dalam 3D, cari segitiga siku-siku di dalam benda padat, lalu gunakan Pythagoras/trigonometri
- sering kali temukan diagonal alas terlebih dahulu, kemudian masukkan tinggi
- kotak $6 \times 8 \times 5$: diagonal alas $10$, diagonal ruang $\sqrt{125} \approx 11.2$, sudut $26.6^{\circ}$