Turunan partisi, fluktuasi energi dan kapasitas panas
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| Helmholtz free energy/ˈhelmhəʊltz friː ˈenədʒi/ | energi bebas Helmholtz |
| energy fluctuation/ˈenədʒi ˌflʌktʃuːˈeɪʃn/ | fluktuasi energi |
Keputusan sebelum jawaban
- Celah energi termal dapat mempertahankan kapasitas panas kecil baik pada suhu rendah maupun tinggi, bahkan sementara probabilitas keadaan tereksitasi terus meningkat.
- Tujuan Anda: Dapatkan energi rata-rata kanonik dan energi bebas dari spektrum energi yang tetap.
Bedakan spektrum yang tetap
- Untuk sistem yang bertukar energi dengan waduk pada T saat N dan V tetap, tetapkan β=1/(kBT). Jumlahkan Z=Σ_i g_i exp(−βE_i) atas tingkat energi dengan degenerasinya. Probabilitas tingkat adalah g_i exp(−βE_i)/Z; energi rata-rata U adalah jumlah energi berbobot probabilitas. Mendifferensiasikan spektrum yang tidak bergantung suhu menghasilkan U=−∂lnZ/∂β.
- Jaga celah energi dan degenerasi tetap selama diferensiasi. Menulis Δ=kBT ln3 untuk mendeskripsikan satu suhu evaluasi tidak boleh dibaca sebagai membuat Δ berubah seiring T. Untuk N sub-sistem dua-tingkat yang independen, identik, dan terbedakan, Z_total=z^N dan U_total=N u. Partikel tak terbedakan dan interaksi memerlukan perhitungan keadaan tersendiri daripada asumsi produk ini.
Two nondegenerate levels have energies 0 and fixed Δ. At Δ/(kBT)=ln4, excited probability is:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
p_exc=1/(1+e^x)=1/(1+4)=1/5.
Identifikasi besaran termodinamika
- Energi bebas Helmholtz adalah F=−kBT lnZ. Entropi kanonik mengikuti dari S=kB(lnZ+βU), setara dengan −kBΣ p_j ln p_j atas mikro-keadaan individu. Kapasitas panas volume tetap adalah C_V=(∂U/∂T)_V,N. Besaran-besaran ini memiliki unit berbeda dan menggambarkan turunan yang berbeda.
- Menambahkan offset energi konstan ε ke setiap keadaan mengalikan Z dengan exp(−βε), meningkatkan U dan F sebesar ε, dan meninggalkan probabilitas, entropi, dan kapasitas panas tidak berubah ketika ε independen dari T. Oleh karena itu, energi rata-rata negatif yang dipilih bukanlah bukti kapasitas panas negatif. Gunakan referensi energi yang sama dalam probabilitas dan ekspresi termodinamika.
A constant temperature-independent energy ε is added to every state. Which quantity stays unchanged?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
All probabilities are unchanged. U and F shift by ε and Z gains e^(−βε), but entropy and heat capacity remain the same.
Hubungkan fluktuasi dan respons
- Turunan kedua β dari lnZ memberikan varians Var(E)=⟨E²⟩−U². Untuk model kanonik spektrum tetap yang sama, C_V=Var(E)/(kBT²), sehingga C_V/kB=β²Var(E). Varians nonnegatif menyiratkan C_V nonnegatif dalam kondisi ini. Penyebutnya mencakup kB, bukan kB², ketika kapasitas panas mempertahankan unit J/K standarnya.
- Rumus fluktuasi ini berkaitan dengan distribusi energi kanonik; hal ini tidak berarti setiap partikel memiliki energi rata-rata yang tepat. Untuk sub-sistem independen, varians bertambah, begitu pula rata-ratanya. Fluktuasi energi relatif biasanya menyusut seperti 1/√N ketika rata-rata dan varians per-sub-sistem tetap hingga dan nonzero.
Untuk tingkat 0 dan Δ tetap pada suhu di mana x=ln3, z=1+1/3=4/3 dan p_exc=1/4. Dengan demikian u=Δ/4, ⟨E²⟩=Δ²/4 dan Var(E)=3Δ²/16. C/kB=3(ln3)²/16=0.226303. F=−kBT ln(4/3); S/kB=ln(4/3)+(ln3)/4=0.562335. Mengangkat referensi sebesar ε mengubah u menjadi ε+Δ/4 tetapi mempertahankan varians dan kapasitas panas.
For equally probable energies 0 J and 2 J, energy variance is ____ J².
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Mean=1 J and second moment=2 J², so variance=2−1²=1 J².
Uji batasan suhu tingkat terbatas
- Untuk satu keadaan dasar pada E=0 dan satu keadaan tereksitasi pada E tetap =Δ>0, tetapkan x=Δ/(kBT). Maka z=1+e^(−x), p_exc=1/(1+e^x), u=Δp_exc dan C/kB=x²e^x/(1+e^x)². Pada T rendah, eksitasi dan kapasitas panas hilang secara eksponensial. Pada T tinggi, p_exc cenderung ke setengah dan energi menjenuh, sehingga kapasitas panas cenderung nol lagi.
- Entropi naik dari nol untuk keadaan dasar unik menuju kB ln2 ketika kedua keadaan menjadi berpeluang sama. Puncak kapasitas kalor suhu terbatas yang dihasilkan ini spesifik pada model tingkat terbatas; ini bukan nilai osilator klasik yang konstan. Degenerasi keadaan dasar atau tingkat tambahan akan mengubah entropi batas dan respons suhu.
Pegang Δ tetap saat melakukan diferensiasi, masukkan degenerasi ke dalam Z, dan gunakan varians energi daripada kuadrat energi rata-rata dalam rumus kapasitas panas.
Jawaban mana yang sesuai dengan kasus ini?
Dapatkan energi rata-rata kanonik dan energi bebas dari spektrum energi tetap
For a fixed two-level nondegenerate spectrum, canonical heat capacity tends to zero as T becomes arbitrarily high.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Energy approaches Δ/2 and its temperature derivative tends to zero; a finite spectrum saturates.
Jaga pembedaan
- fluktuasi energi — Sebaran kanonik energi di sekitar rata-rata ensemble-nya, dikuantifikasi oleh varians energi.
- energi bebas Helmholtz — Potensial termodinamika F=U−TS, sama dengan −kBT lnZ untuk ensemble kanonik.
- Peroleh energi rata-rata dan energi bebas kanonik dari spektrum energi yang tetap.
- Hubungkan varians energi dengan kapasitas panas volume tetap dengan kondisi spektrum tetap.
- Evaluasi entropi dan batas suhu rendah/tinggi untuk model tingkat terbatas asli.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.